Статистичний аналіз випадкових процесів, розділ математичної статистики, присвячений методам обробки і використання статистичних даних, що стосуються випадкових процесів (тобто функцій X ( t ) часу t , визначуваних за допомогою деякого випробування і при різних випробуваннях тих, що можуть залежно від випадку набувати різних значень). Значення x ( t ) випадкового процесу X ( t ), що отримується в ході одного випробування, називається реалізацією (інакше — наблюденним значенням, вибірковим значенням або траєкторією) процесу X ( t ); статистичні дані про X ( t ), використовувані при статистичному аналізі цього процесу, зазвичай представляютсобой відомості про значення однієї або декількох реалізацій x ( t ) протягом визначеного проміжку часу або ж про значення яких-небудь величин, пов'язаних з процесом X ( t ) (наприклад, про наблюденних значення процесу Y ( t ), що є сумою X ( t ) і деякого «шуму» N ( t ), створеного зовнішніми перешкодами і помилками виміру значень x ( t )). Вельми важливий з точки зору додатків клас завдань С. а. с. п. є завдання виявлення сигналу на фоні шуму, що грають велику роль при радіолокації. З математичної точки зору ці завдання зводяться до статистичній перевірці гіпотез : тут по наблюденним значеннях деякої функції потрібно укласти, чи справедлива гіпотеза про те, що функція ця є реалізацією суми шуму N ( t ) і спостерігача сигналу X ( t ), що цікавить, або ж справедлива гіпотеза про те, що вона є реалізацією одного лише шуму N ( t ). У випадках, коли форма сигналу X ( t ) не є повністю відомою, завдання виявлення часто включають і завдання статистичної оцінки невідомих параметрів сигналу; так, наприклад, в завданнях радіолокації дуже важливе завдання про оцінку часу появи сигналу, що визначає відстань до об'єкту, породжувача цей сигнал. Завдання статистичної оцінки параметрів виникають і тоді, коли за даними спостережень за значеннями процесу X ( t ) протягом певного проміжку часу потрібно оцінити значення якихось параметрів розподілу вірогідності випадкових величин X ( t ) або ж, наприклад, оцінити значення у фіксований момент часу t = t 1 самого процесу Х ( t ) (у припущенні, що t 1 лежить за межами інтервалу спостережень за цим процесом) або значення в ( t 1 ) якого-небудь допоміжного процесу Y ( t ), статистично пов'язаного з Х ( t ) (див. Випадкових процесів прогнозування ). Нарешті, ряд завдань С. а. с. п. Належить до завдань на непараметричні методи статистики; так йде справа, зокрема, коли за спостереженнями за перебігом процесу X ( t ) потрібно оцінити деякі функції, що характеризують розподіли вірогідності значень цього процесу (наприклад, щільність вірогідності величини Х ( t ), або кореляційну функцію E x ( t ) X ( s ) процесу Х ( t ), або, в разі стаціонарного випадкового процесу X ( t ), його спектральну щільність f ( l )
При вирішення завдань С. а. с. п. завжди потрібно прийняти ті або інші спеціальні припущення про статистичну структуру процесу X ( t ), тобто якось обмежити клас даних випадкових процесів. Дуже коштовним з точки зору С. а. с. п. є допущення про те, що даний процес X ( t ) є стаціонарним випадковим процесом; при цьому допущенні, знаючи значення єдиної реалізації x ( t ) протягом проміжку часу 0 £ t £ T , можна вже отримати цілий ряд статистичних виводів про імовірнісні характеристики процесу X ( t ). Зокрема, середньоарифметичне значення
в разі стаціонарного випадкового процесу X ( t ) за вельми широких умов є спроможною оцінкою математичного чекання E x ( t ) = m (тобто сходиться при Т ®¥ до дійсного значення оцінюваної величини m ); аналогічно цьому вибіркова кореляційна функція
,
де t > 0, за широких умов є спроможною оцінкою кореляційної функції B (t) = E x ( t ) X ( t + t).
Проте Фур'є перетворення функції — так звана періодограма I T (l) процесу X ( t ) — вже не є спроможною оцінкою спектральної щільності f (l), що є перетворенням Фур'є функції В (t); при великих значеннях Т періодограма I T (l) поводиться украй нерегулярний і при Т ® ¥ вона не прагне ні до якої межі. Тому С. а. с. п. включає ряд спеціальних прийомів побудови спроможних оцінок спектральної щільності f (l) по наблюденним значеннях однієї реалізації стаціонарного процесу X ( t ) більшість з яких заснована на використанні згладжування періодограми процесу по порівняно вузької області частот l.
При дослідженні статистичних властивостей оцінок імовірнісних характеристик стаціонарних випадкових процесів дуже корисними виявляються додаткові допущення про природу X ( t ) (наприклад, допущення про те, що всі скінченномірні розподіли значень процесу X ( t ) є нормальними розподілами вірогідності). Великий розвиток отримали також дослідження по С. а. с. п., в яких передбачається, що процес X ( t ), що вивчається, є марківським процесом того або іншого типа, або компонентой багатовимірного марківського процесу, або компонентой багатовимірного процесу, що задовольняє певній системі стохастичних диференціальних рівнянь.
Літ.: Дженкинс Р., Ваті Д., Спектральний аналіз і його застосування, пер.(переведення) з англ.(англійський), ст 1—2, М., 1971—72; Хеннан Е., Аналіз тимчасових рядів, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1964; його ж, Багатовимірні тимчасові ряди, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1974: Ліпцер Р. Ш., Ширяєв А. Н., Статистика випадкових процесів (нелінійна фільтрація і суміжні питання), М., 1974.
