Спінорне числення
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Спінорне числення

Спінорне числення, математична теорія, що вивчає величини особливого роду, — спінори . При вивченні фізичних величин їх відносять зазвичай до тієї або іншої системи координат. Залежно від закону перетворення цих величин при переході від однієї системи координат до іншої розрізняють величини різних типів ( тензори псевдотензори). При вивченні явища спина електрона було виявлено, що існують фізичні величини, що не належать до раніше відомим типам (наприклад, ці величини можуть бути визначені лише з точністю до знаку, оскільки при повороті системи координат на 2p довкола деякої осі всі компоненти цих величин міняють знак). Такі величини були розглянуті ще в 1913 Е. Картаном в його дослідженнях по теорії представлень груп і знов відкриті в 1929 Би. Л. Варденом у зв'язку з дослідженнями по квантовій механіці. Він назвав ці величини спінорамі.

загрузка...

  Спінори першої валентності задаються двома комплексними числами (x 1 , x 2 ), причому у відмінність, наприклад, від тензорів, для яких різні сукупності чисел задають різні тензори, для спіноров вважають, що сукупності (x 1 , x 2 ) і (—x 1 —x 2 ) визначають один і той же спінор. Це пояснюється законом перетворення спіноров при переході від однієї системи координат до іншої. При повороті системи координат на кут q довкола осі з направляючими косинусами cosc 1 , cosc 2 , cosc 3 компоненти спінора перетворяться по формулах

 

де

би,,,

.

  Зокрема, при повороті системи координат на кут 2p, що повертає її у вихідне положення, компоненти спінора міняють знак, що пояснює тотожність спіноров (x 1 , x 2 ) і (—x 1 —x 2 ). Прикладом спінорної величини може служити хвилева функція частки із спином 1 / 2 (наприклад, електрона).

  Матриця  є в цьому випадку унітарною матрицею .

  До спінорам відносять і величини, компоненти яких  комплексно зв'язані з компонентамі спінора (x 1 x 2 ). Матриця перетворення цих величин має вигляд .

  Пусть Oxyz і 0''х''у''z'' — дві системи координат з паралельними осями, причому O''x''y''z'' рухається відносно Охуz із швидкістю v = з thq (де з — швидкість світла) в напрямі, створюючому з осями координат кути c 1 , c 2 , c 3 . При Лоренца перетвореннях, відповідних переходу від Oxyz до O''x''y''z'' , компоненти спінора перетворяться по формулах

,,

де

би,,,

.

Якщо розглядають перетворення Лоренца для випадку, коли осі координат непаралельні, то матриця об перетворення компонент спінора може бути будь-якою комплексною матрицею другого порядку, визначник якої дорівнює одиниці, — унімодулярною матрицею.

  Поряд з введеними вище контраваріантнимі компонентамі x 1 , x 2 спінора, можна ввести коваріантниє компоненти x 1 , x 2 поклавши, де  (як завжди, по індексах, що повторюються, виробляється підсумовування). Іншими словами, x 2 = x 1 , x 1 = -x 2 . Коваріантниє компоненти перетворяться матрицею . При обертаннях ця матриця збігається з матрицею s, тобто при обертаннях коваріантниє компоненти спінора перетворяться як компоненти комплексно зв'язаного спінора.

  Спінорна алгебра будується аналогічно звичайній тензорній алгебрі (див. Тензорне числення ). Спінором валентності r (або спінтензором) називається сукупність 2 r комплексних чисел, визначених з точністю до знаку, яка при переході від однієї системи координат до іншої перетвориться як твір r компонент спіноров першої валентності, тобто як . Аналогічно визначаються комплексно зв'язані спінор валентності r, змішаний спінор, спінор з коваріантнимі компонентамі і так далі Складання спіноров і множення спінора на скаляр визначаються покоордінатно. Твором двох спіноров називається спінор, компонентамі якого є попарні твори компонент співмножників. Наприклад, із спіноров другої і третьої валентності і  можна утворити спінор п'ятої валентності  . Сверткой спінора  по індексах l 1 і l 2 називається спінор

.

  В спінорній алгебрі часто використовується тотожність

,

.

  В квантовій механіці важливу роль грає дослідження систем лінійних диференціальних рівнянь, що зв'язують величини спінорного типа, які залишаються інваріантними при унімодулярних перетвореннях, оскільки лише такі системи рівнянь релятивістський інваріантні. Найбільш важливі додатки спінорного аналізу до теорії рівнянь Максвелла і Дираку. Запис цих рівнянь в спінорній формі дозволяє відразу встановити їх релятивістську інваріантність, встановити характер перетворення вхідних в них величин. Спінорна алгебра знаходить також додатка до квантової теорії хімічної валентності. Теорія спіноров в просторах вищого числа вимірів пов'язана з представленнями груп обертань багатовимірних просторів. С. і. пов'язано також з деякими питаннями нєєвклідової геометрії.

  Літ.: Румер Ю. Б., Спінорний аналіз, М. — Л., 1936; Картан Е., Теорія спіноров, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1947; Ландау Л., Ліфшиц Е., Квантова механіка, ч. 1, М. — Л., 1948 (Теоретична фізика, т. 5, ч. 1 ); Рашевський П. До., Ріманова геометрія і тензорний аналіз, 3 видавництва, М., 1967; його ж, Теорія спіноров, «Успіхи математичних наук», 1955, т. 10, ст 2(64).