Спіралі (франц., однина spirale, від латів.(латинський) spira, греч.(грецький) speira — виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів що обходять деяку крапку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї. Якщо вибрати цю крапку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння С. r = f (j) таке, що f (j + 2p) > f (j) або f (j + 2p) < f (j) при всіх j. Зокрема, С. виходять, якщо f (j) — монотонно зростаюча або убуваюча позитивна функція. Найбільш простий вигляд має рівняння архімедівської С. (см. мал.(малюнок) ): r = а j, вивченою старогрецьким математиком Архімедом (3 ст до н.е.(наша ера)) у зв'язку із завданнями трисекції кута і квадратури круга у вигадуванні «Про спіралі». Архімед знайшов площу сектора цією С., що було одним з перших прикладів квадратури криволінійної області. Архимедова С. є подерой (див. Подера і антіподера ) евольвенти круга (див. Еволюта і евольвента ), що використовується в деяких конструкціях розлучних мостів для урівноваження змінного натягнення ланцюга. Якщо ексцентрик обмежений дугами архімедівської С. (серцеподібний ексцентрик), то він перетворить рівномірний обертальний рух в рівномірний поступальний, причому відстань між діаметрально протилежними крапками ексцентрика постійно. Французький математик П. Ферма досліджував узагальнені архимедови С. (r/ а ) n = (j/2p) m і знайшов площу їх сектора.
Рівняння r = ає до j задає логарифмічну С. (см. мал.(малюнок) ). Логарифмічна С. пересікає під одним і тим же кутом а всі радіус-вектори, проведені з полюса, причому ctga = до . Це властивість логарифмічною С. використовується при проектуванні ножів, що обертаються, фрез і так далі для досягнення постійності кута різання. Логарифмічна С. зустрічається також в теорії спіральних приводів до гідравлічних турбін і так далі В теорії зубчастих коліс використовується можливість кочення без ковзання однією логарифмічною С. по іншій, рівною з нею, коли обидві С. обертаються довкола своїх полюсів. При цьому виходять зубчасті передачі із змінним передавальним числом. При стереографічній проекції плоскості на сферу логарифмічною С. переходить в локсодромію (криву, що пересікає всі меридіани під одним і тим же кутом). Визначення довжин дуг логарифмічною С. дане італ.(італійський) ученим Е. Торрічеллі. Довжина дуги логарифмічною С. пропорційна різниці довжин радіус-векторів, проведених в кінці дуги, точніше рівна . Швейц. учений Я. Бернуллі показав, що еволюта і каустика (див. Каустична поверхня ) логарифмічною С. є логарифмічними С. Прі обертанні довкола полюса логарифмічною С. виходить крива, гомотетична (див. Гомотетія ) початковою. При інверсії логарифмічна С. переходить в логарифмічну С.
З інших С. практичне значення має Корню С. (або клотоїда), вживана при графічному вирішенні деяких завдань дифракції (см. мал.(малюнок) ). Параметричне рівняння цій С. має вигляд:
.
Корню С. є ідеальній перехідній кривій для закруглення залізничної колії, оскільки її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. С. є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвента кола.
Назви деяким С. дани по схожості їх полярних рівнянь з рівняннями кривих в декартових координатах, наприклад параболічна С. (см. мал.(малюнок) ): ( а - r) 2 = b j, гіперболічна С.(см. мал.(малюнок) ): r = а /j. До С. відносяться також жезл (см. мал.(малюнок) ): r 2 = a/j і si-ci-спіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:
,
[si ( t ) і ci ( t ) — інтегральний синус і інтегральний косинус ]. Кривизна si-ci-спіралі змінюється з довжиною дуги за законом показової функції. Такі С. застосовують як профіль для лекал.
Нагадує С. крива, звана кохлеоїдой (см. рис .). Вона безконечна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить в попередньому.
С. зустрічаються також при розгляді особливих крапок в теорії диференціальних рівнянь (див. Особливі точки ).
С. інколи називають також просторові криві, що роблять безконечні багато зворотів довкола деякої осі, наприклад гвинтова лінія.
