Резонанс
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Резонанс

Резонанс (франц. resonance, від латів.(латинський) resono — звучу у відповідь, відгукуюся), явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань в якій-небудь коливальній системі, що настає при наближенні частоти періодичної зовнішньої дії до деяких значень, визначуваних властивостями самої системи. У простих випадках Р. настає при наближенні частоти зовнішньої дії до однієї з тих частот, з якими відбуваються власні коливання в системі, що виникають в результаті початкового поштовху. Характер явища Р. істотно залежить від властивостей коливальної системи. Найпростіше Р. протікає в тих випадках, коли періодичній дії піддається система з параметрами, не залежними від стану самої системи (т.з. лінійні системи ).

загрузка...

  Типові межі Р. можна з'ясувати, розглядаючи випадок гармонійної дії на систему з однією мірою свободи: наприклад, на масу m , що підвішену на пружині, знаходиться під дією гармонійної сили F = F 0 coswt ( мал. 1 ), або електричний ланцюг, що складається з послідовно сполучених індуктивності L , ємності З , опори R і джерела електрорушійної сили Е , змінною по гармонійному закону ( мал. 2 ). Для визначеності надалі розглядається перша з цих моделей, але все сказане нижче можна розповсюдити і на другу модель. Приймемо, що пружина підкоряється закону Гуку (це припущення необхідне, щоб система була лінійна), т. е., що сила, що діє з боку пружини на масу m , рівна kx , де х — зсув маси від положення рівноваги, до — коефіцієнт пружності (сила тяжіння для простоти не береться до уваги). Далі, хай при русі маса випробовує з боку довкілля опір, пропорційний її швидкості  і коефіцієнту тертя b , тобто рівне до (це необхідно, щоб система залишалася лінійною). Тоді рівняння руху маси m за наявності гармонійної зовнішньої сили F має вигляд:

     (1)

де F 0 амплітуда вагання, w — циклічна частота, рівна 2p/ Т , Т — період зовнішньої дії,   прискорення маси m. Вирішення цього рівняння може бути представлене у вигляді суми двох рішень. Перше з цих рішень відповідає вільним коливанням системи, що виникає під дією початкового поштовху, а друге — вимушеним коливанням. Власні коливання в системі унаслідок наявності тертя і опору середовища завжди затухають, тому після закінчення достатнього проміжку часу (тим більшого, чим менше загасання власних коливань) в системі залишаться одні лише вимушені коливання. Рішення, відповідне вимушеним коливанням, має вигляд:

,     (2)

причому tgj = . Т. о., вимушеними коливаннями є гармонійні коливання з частотою, рівній частоті зовнішньої дії; амплітуда і фаза вимушених коливань залежать від співвідношення між частотою зовнішньої дії і параметрами системи.

  Залежність амплітуди зсувів при вимушених коливаннях від співвідношення між величинами маси m і пружності до найлегше прослідити, вважаючи, що m і до залишаються незмінними, а змінюється частота зовнішньої дії. При дуже повільній дії (w ® 0) амплітуда зсувів x 0 » F 0 / до. Із збільшенням частоти w амплітуда x 0 зростає, оскільки знаменник у вираженні (2) зменшується. Коли w наближається до значення  (тобто до значення частоти власних коливань при малому їх загасанні), амплітуда вимушених коливань досягає максимуму — настає Р. Далєє із збільшенням w амплітуда коливань монотонно убуває і при w ® ¥ прагне до нуля.

  Амплітуду коливань при Р. можна приблизно визначити, вважаючи w = . Тоді x 0 = F 0 / b w, тобто амплітуда коливань при Р. тим більше, чим менше загасання b в системі ( мал. 3 ). Навпаки, при збільшенні загасання системи Р. стає все менш різким, і якщо b дуже велике, то Р. взагалі перестає бути помітним. З енергетичної точки зору Р. пояснюється тим, що між зовнішньою силою і вимушеними коливаннями встановлюються такі фазові співвідношення, при яких в систему поступає найбільша потужність (оскільки швидкість системи опиняється у фазі із зовнішньою силою і створюються найбільш сприятливі умови для збудження вимушених коливань).

  Якщо на лінійну систему діє періодична, але не гармонійна зовнішня дія, то Р. настане лише тоді, коли в зовнішній дії містяться гармонійні складові з частотою, близькою до власної частоти системи. При цьому для кожної окремої складової явище протікатиме так само, як розглянуто вище. А якщо цих гармонійних складових з частотами, близькими до власної частоти системи, буде декілька, то кожна з їх викликатиме резонансні явища, і загальний ефект, згідно суперпозиції принципу, дорівнюватиме сумі ефектів від окремих гармонійних дій. Якщо ж в зовнішній дії не міститься гармонійні складові з частотами, близькими до власної частоти системи, то Р. взагалі не настає. Т. о., лінійна система відгукується, «резонує» лише на гармонійні зовнішні дії.

  В електричних коливальних системах, що складаються з послідовно сполучених ємності З і індуктивністю L ( мал. 2 ), Р. полягає в тому, що при наближенні частот зовнішньою едс(електрорушійна сила) до власної частоти коливальної системи, амплітуди едс(електрорушійна сила) на котушці і напруга на конденсаторі порізно виявляється значно більше амплітуди едс(електрорушійна сила), створюваною джерелом проте вони рівні по величині і протилежні по фазі. В разі дії гармонійною едс(електрорушійна сила) на ланцюг, що складається з паралельно включеної ємкості і індуктивності ( мал. 4 ), має місце особливий випадок Р. (антирезонанс). При наближенні частоти зовнішньою едс(електрорушійна сила) до власної частоти контура LC відбувається не зростання амплітуди вимушених коливань в контурі, а навпаки, різке зменшення амплітуди сили струму в зовнішньому ланцюзі, що живить контур. У електротехніці це явище називається Р. струмів або паралельним Р. Ето явище пояснюється тим, що при частоті зовнішньої дії, близькій до власної частоти контура, реактивні опори обох паралельних гілок (ємкісною і індуктивною) виявляються однаковими по величині і тому в обох гілках контура течуть струми приблизно однакової амплітуди, але майже протилежні по фазі. Внаслідок цього амплітуда струму в зовнішній ланцюгу (рівного сумі алгебри струмів в окремих гілках) виявляється набагато меншою, ніж амплітуди струму в окремих гілках, які при паралельному Р. досягають найбільшої величини. Паралельний Р., так само як і послідовний Р., виражається тим різкіше, чим менше активний опір гілок контура Р. Последовательний і паралельний Р. називаються відповідно Р. напруги і Р. струмів.

  В лінійній системі з двома мірами свободи, в частковості в двох зв'язаних системах (наприклад, в двох зв'язаних електричних контурах; мал. 5 ), явище Р. зберігає вказані вище основні межі. Проте, оскільки в системі з двома мірами свободи власні коливання можуть відбуватися з двома різними частотами (т.з. нормальні частоти, див.(дивися) Нормальні коливання ), то Р. настає при збігу частоти гармонійного зовнішньої дії як з однією, так і з іншою нормальною частотою системи. Тому, якщо нормальні частоти системи не дуже близькі один до одного, то при плавній зміні частоти зовнішньої дії спостерігаються два максимуми амплітуди вимушених коливань ( мал. 6 ). Але якщо нормальні частоти системи близькі один до одного і загасання в системі досить великий, так що Р. на кожній з нормальних частот «тупий», то може статися, що обидва максимуми зіллються. В цьому випадку кривий Р. для системи з двома мірами свободи втрачає свій «двогорбий» характер і на вигляд лише трохи відрізняється від кривого Р. для лінійного контура з однією мірою свободи. Т. о., в системі з двома мірами свободи форма кривого Р. залежить не лише від загасання контура (як в разі системи з однією мірою свободи), але і від міри зв'язку між контурами.

  В зв'язаних системах також існує явище, яке певною мірою аналогічно явищу антирезонансу в системі з однією мірою свободи. Якщо в разі двох зв'язаних контурів з різними власними частотами набудувати вторинний контур L 2 C 2 на частоту зовнішньої едс(електрорушійна сила), включеною в первинний контур L 1 C 1 ( мал. 5 ) то сила струму в первинному контурі різко падає і тим різкіше, чим менше загасання контурів. Пояснюється це явище тим, що при налаштуванні вторинного контура на частоту зовнішньою едс(електрорушійна сила) в цьому контурі виникає якраз такий струм, який в первинному контурі наводить едс(електрорушійна сила) індукції, приблизно рівну зовнішньою едс(електрорушійна сила) по амплітуді і протилежну до неї по фазі.

  В лінійних системах з багатьма мірами свободи і в суцільних системах Р. зберігає ті ж основні межі, що і в системі з двома мірами свободи. Проте в цьому випадку, на відміну від систем з однією мірою свободи, істотну роль грає розподіл зовнішньої дії по окремих координатах. При цьому можливі такі спеціальні випадки розподіли зовнішньої дії, при яких, не дивлячись на збіги частоти зовнішньої дії з однією з нормальних частот системи, Р. все ж не настає. З енергетичної точки зору це пояснюється тим, що між зовнішньою силою і вимушеними коливаннями встановлюються такі фазові співвідношення, при яких потужність, що поступає в систему від джерела збудження по одній координаті, дорівнює потужності, системою, що віддається, джерелу по іншій координаті. Приклад цього — збудження вимушених коливань в струні, коли зовнішня сила, співпадаюча по частоті з однією з нормальних частот струни, прикладена в крапці, яка відповідає вузлу швидкостей для даного нормального вагання (наприклад, сила, співпадаюча по частоті з основним тоном струни, прикладена в самого кінця струни). За цих умов (унаслідок того, що зовнішня сила прикладена до нерухомої точки струни) ця сила не здійснює роботи, потужність від джерела зовнішньої сили в систему не поступає і скільки-небудь помітного збудження коливань струни не виникає, тобто Р. не спостерігається.

  Р. в коливальних системах, параметри яких залежать від стану системи, тобто в нелінійних системах, має складніший характер, ніж в системах лінійних. Криві Р. в нелінійних системах можуть стати різко несиметричними, і явище Р. може спостерігатися при різних співвідношеннях частот дії і частот власних малих коливань системи (т.з. дріб, кратний і комбінаційний Р.). Прикладом Р. в нелінійних системах може служити т.з. ферорезонанс, тобто резонанс в електричному ланцюзі, що містить індуктивність з феромагнітним сердечником, або феромагнітний резонанс, що є явищем, пов'язаним з Р. елементарних (атомних) магнітів речовини при додатку високочастотного магнітного поля (див. Радіоспектроскопія ).

  Якщо зовнішня дія виробляє періодичні зміна енергоємних параметрів коливальної системи (наприклад, ємкості в електричному контурі), то при певних співвідношеннях частот зміни параметра і власної частоти вільних коливань системи можливо параметричне збудження коливань, або параметричний Р.

  Р. вельми часто спостерігається в природі і грає величезну роль в техніці. Більшість споруд і машин здатні здійснювати власні коливання, тому періодичні зовнішні дії можуть викликати їх Р.; наприклад Р. моста під дією періодичних поштовхів при проходженні поїзда по стиках рейок, Р. фундаменту споруди або самої машини під дією не цілком урівноважених частин машин, що обертаються, і так далі Відомі випадки, коли цілі кораблі входили в Р. при певних числах зворотів грібного валу. У всіх випадках Р. приводить до різкого збільшення амплітуди вимушених коливань всієї конструкції і може привести навіть до руйнування споруди. Це шкідлива роль Р., і для усунення його підбирають властивості системи так, щоб її нормальні частоти були далекі від можливих частот зовнішньої дії, або використовують в тому або іншому вигляді явище антирезонансу (застосовують т.з. поглиначі коливань, або заспокоювачі). У ін. випадках Р. грає позитивну роль, наприклад: у радіотехніці Р. — майже єдиний метод, що дозволяє відокремити сигнали однієї (потрібною) радіостанції від сигналів всіх останніх (що заважають) станцій.

  Літ.: Стрільців С. П., Введення в теорію коливань, 2 видавництва, М., 1964; Горелік Р. С., Коливання і хвилі, Введення в акустику, радіофізику і оптику 2 видавництва М., 1959.

Мал. 1. Механічна коливальна система.

Мал. 5. Приклад двох зв'язаних електричних контурів.

Мал. 2. Електрична коливальна система з послідовними включенням ємкості C і індуктивності L.

Мал. 4. Електрична коливальна система з включеними паралельно ємкістю і індуктивністю.

Мал. 6. Резонансна крива з двома максимумами.

Мал. 3. Залежність амплітуд зсувів від частоти зовнішньої дії для різних значень b (b 6 < b 5 < . < b 1 ).