Просте число, ціле позитивне число, більше, ніж одиниця, що не має інших дільників, окрім самого себе і одиниці: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Поняття П. ч. є основним при вивченні подільності натуральних (цілих позитивних) чисел; саме, основна теорема теорії подільності встановлює, що всяке ціле позитивне число, окрім 1, єдиним чином розкладається в творі П. ч. (порядок співмножників при цьому не приймається в увага). П. ч. нескінченно багато (ця пропозиція була відома ще старогрецьким математикам, його доказ є в 9-ій книзі «Початків» Евкліда). Питання подільності натуральних чисел, а отже, питання, зв'язані с П. ч., мають важливе значення при вивченні груп ; зокрема, будова групи з кінцевим числом елементів тісно пов'язана з тим, яким чином це число елементів (порядок групи) розкладається на прості множники. У теорії чисел алгебри розглядаються питання подільності цілих чисел алгебри; поняття П. ч. виявилося недостатнім для побудови теорії подільності — це привело до створення поняття ідеалу . П. Р. Л. Дирихле в 1837 встановив, що в арифметичній прогресії а + bx при х = 1, 2... з цілими взаємно простими а і b міститься нескінченно багато П. ч.
З'ясування розподілу П. ч. у натуральному ряду чисел є вельми важким завданням чисел теорії . Вона ставиться як вивчення асимптотичної поведінки функції p( х ) що позначає число П. ч., що не перевершують позитивного числа х. Перші результати в цьому напрямі належать П. Л. Чебишеву, який в 1850 довів, що є такі дві такі постійні а і А, що < p( x )< при будь-яких x ³ 2 [т. е., що p( х ) зростає, як функція ]. Хронологічно наступним значним результатом, що уточнює теорему Чебишева, є т.з. асимптотичний закон розподілу П. ч. (Же. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), що полягає в тому, що межа відношення p( х ) до рівний 1.
Надалі значні зусилля математиків прямували на уточнення асимптотичного закону розподілу П. ч. Питання розподілу П. ч. вивчаються і елементарними методами, і методами математичного аналізу. Особливо плідним є метод, заснований на використанні тотожності
(твір поширюється на все П. ч. р = 2, 3...), вперше вказаного Л. Ейлером ; це тотожність справедливо при всіх комплексних s з речовою частиною, більшої одиниці. На підставі цієї тотожності питання розподілу П. ч. приводяться до вивчення спеціальної функції — дзета-функції x>( s ), визначуваною при Res > 1 рядом
Ця функція використовувалася в питаннях розподілу П. ч. при речових s Чебишевим; Би. Ріман вказав на важливість вивчення x( s ) при комплексних значеннях s . Ріман висловив гіпотезу про те, що все коріння рівняння x( s )= 0, лежачі в правій напівплощині, мають речову частину, рівну 1 / 2 . Ця гіпотеза до теперішнього часу (1975) не доведена; її доказ дав би вельми багато в рішенні питання про розподіл П. ч. Питання розподілу П. ч. тісно пов'язані з Гольдбаха проблемою, з не розв'язаною ще проблемою «близнят» і іншими проблемами аналітичної теорії чисел. Проблема «близнят» полягає в тому, щоб взнати, звичайно або безконечне число П. ч., що різняться на 2 (таких, наприклад, як 11 і 13). Таблиці П. ч., лежачих в межах перших 11 млн. натуральних чисел показують наявність вельми великих «близнят» (наприклад, 10006427 і 10006429), проте це не є доказом нескінченності їх числа. За межами складених таблиць відомі окремі П. ч., що допускають просте арифметичне вираження [наприклад, встановлено (1965), що 2 11213 —1 є П. ч.; в нім 3376 цифр].
Літ.: Винограду І. М., Основи теорії чисел, 8 видавництво, М., 1972; Хассе Г., Лекції з теорії чисел пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1953; Інгам А. Е., Розподіл простих чисел, пер.(переведення) з англ.(англійський), М. — Л., 1936; Прахар До., Розподіл простих чисел, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1967; Трост Е., Прості числа, пер, з йому.(німецький), М., 1959.
