Помилок теорія, розділ математичної статистики, присвячений побудові уточнених виводів про чисельні значення приблизно виміряних величин, а також про помилки (погрішностях) вимірів. Повторні виміри однієї і тієї ж постійної величини дають, як правило, різні результати, оскільки кожен вимір містить деяку помилку. Розрізняють 3 основних вигляду помилок: систематичні, грубі і випадкові. Систематичні помилки весь час або перебільшують, або зменшують результати вимірів і походять від певних причин (неправильної установки вимірювальних приладів, впливу довкілля і т. д.), що систематично впливають на виміри і змінюють їх в одному напрямі. Оцінка систематичних помилок виробляється за допомогою методів, що виходять за межі математичної статистики (див. Спостережень обробка ). Грубі помилки виникають в результаті прорахунку, неправильного читання показань вимірювального приладу і т. п. Результати вимірів, що містять грубі помилки, сильно відрізняються від інших результатів вимірів і тому часто бувають добре помітні. Випадкові помилки походять від різних випадкових причин, що діють при кожному з окремих вимірів непередбаченим чином то у бік зменшення, то убік збільшення результатів.
О. т. займається вивченням лише грубих і випадкових помилок. Основні завдання О. т.: розшук законів розподілу випадкових помилок, розшук оцінок (див. Статистичні оцінки ) невідомих вимірюваних величин за результатами вимірів, встановлення погрішностей таких оцінок і усунення грубих помилок.
Хай в результаті n незалежних равноточних вимірів деякої невідомої величини а отримані значення x 1 , x 2 ..., x n . Різниці
d 1 = x 1 — а,., d n = x n — а
називаються дійсними помилками. В термінах імовірнісної О. т. все d i трактуючи як випадкові величини; незалежність вимірів розуміється як взаємна незалежність випадкових величин d 1 ..., d n . Равноточность вимірів в широкому сенсі тлумачиться як однакова распределенность: дійсні помилки равноточних вимірів суть однаково розподілені випадкові величини. При цьому математичне чекання випадкових помилок b = Ed 1 =.. .= Еd n називається систематичною помилкою, а різниці d 1 — b..., d n — b — випадковими помилками. Таким чином, відсутність систематичної помилки означає, що b = 0, і в цій ситуації d 1 ..., d n суть випадкові помилки. Величину, де а — квадратичне відхилення, називають мірою точності (за наявності систематичної помилки міра точності виражається відношенням . Равноточность вимірів у вузькому сенсі розуміється як подібність міри точності всіх результатів вимірів. Наявність грубих помилок означає порушення равноточності (як у широкому, так і у вузькому сенсі) для деяких окремих вимірів. Як оцінка невідомої величини а зазвичай беруть арифметичне середнє з результатів вимірів
,
а різниці D 1 = x 1 — ..., D n = x n — називаються помилками, що здаються. Вибір як оцінка для а заснований на тому, що при чималому числі n равноточних вимірів, позбавлених систематичної помилки, оцінка з вірогідністю, скільки завгодно близькою до одиниці, скільки завгодно мало відрізняється від невідомої величини а (див. Великих чисел закон ); оцінка позбавлена систематичної помилки (оцінки з такою властивістю називаються незміщеними); дисперсія оцінки є
D = E ( — а ) 2 = s 2 /n.
Досвід показує, що практично дуже часто випадкові помилки d i підкоряються розподілам, близьким до нормальному (причини цього розкриті так званими граничними теоремами теорії вірогідності). В цьому випадку величина має те, що мало відрізняється від нормального розподіл, з математичним чеканням а і дисперсією s 2 /n. Якщо розподіли d i в точності нормальні, то дисперсія всякої іншої незміщеної оцінки для а, наприклад медіани, не менше D . Якщо ж розподіл d i відмінно від нормального, то остання властивість може не мати місця.
Якщо дисперсія s 2 окремих вимірів заздалегідь відома, то для її оцінки користуються величиною
(E s 2 = s 2 , тобто s 2 — незміщена оцінка для s 2 ), якщо випадкові помилки d i мають нормальний розподіл, то відношення
Величина ( n — 1 ) s 2 / s 2 при тих же припущеннях має розподіл c 2 (див. «Хі-квадрат» розподіл ) з n — 1 мірами свободи. Це дозволяє оцінити погрішність наближеної рівності s » s. Можна показати, що відносна погрішність | s — s | Is не перевищуватиме числа q з вірогідністю
w = F ( z 2 , n — 1 ) — F ( z 1 , n — 1 ) ,
де F ( z, n — 1 ) — функція розподілу c 2 ,
.
Літ.: Лінник Ю. Ст, Метод найменших квадратів і основи математіко-статістічної теорії обробки спостережень, 2 видавництва, М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. Ст, Таблиці математичної статистики, 2 видавництва, М., 1968.
