Ошибок теория

Ошибок теория, раздел математической статистики, посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.

  О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

  Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x₁, x₂,..., x_n. Разности

d₁ = x₁ — a,…, d_n = x_n — a

  называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d_i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d₁,..., d_n. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Ed₁ =...= Еd_n называется систематической ошибкой, а разности d₁ — b,..., d_n — b — случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0, и в этой ситуации d₁,..., d_n суть случайные ошибки. Величину , где а — квадратичное отклонение, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением  . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений

,

  а разности D₁ = x₁ — ,..., D_n = x_n —   называются кажущимися ошибками. Выбор  в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка  с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон); оценка  лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть

  D = E ( — а)² = s²/n.

  Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d_i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина  имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s²/n. Если распределения d_i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы, не меньше D. Если же распределение d_i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

  Если дисперсия s² отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной

  (Es² = s², т. е. s² — несмещенная оценка для s²), если случайные ошибки d_i имеют нормальное распределение, то отношение

  подчиняется Стьюдента распределению с n — 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а »  (см. Наименьших квадратов метод).

  Величина (n — 1) s²/s² при тех же предположениях имеет распределение c² (см. «Хи-квадрат» распределение) с n — 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s » s. Можно показать, что относительная погрешность |s — s|Is не будет превышать числа q с вероятностью

  w = F (z₂, n — 1) — F (z₁, n — 1),

  где F (z, n — 1) — функция распределения c²,

, .

  Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

  Л. Н. Большев.