Наименьших квадратов метод

Наименьших квадратов метод, один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при наблюдений обработке. Н. к. м. предложен К. Гауссом (1794—95) и А. Лежандром (1805—06). Первоначально Н. к. м. использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости Н. к. м. даны А. А. Марковым (старшим) и А. Н. Колмогоровым. Ныне Н. к. м. представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

  Сущность обоснования Н. к. м. (по Гауссу) заключается в допущении, что «убыток» от замены точного (неизвестного) значения физической величины и её приближённым значением X, вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален квадрату ошибки: (X - m)². В этих условиях оптимальной оценкой естественно признать такую лишённую систематической ошибки величину X, для которой среднее значение «убытка» минимально. Именно это требование и составляет основу Н. к. м. В общем случае отыскание оптимальной в смысле Н. к. м. оценки Х — задача весьма сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве Х выбирают линейную функцию от результатов наблюдений, лишённую систематической ошибки, и такую, для которой среднее значение «убытка» минимально в классе всех линейных функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению и оцениваемая величина m зависит от средних значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся в приложениях Н. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка Х также подчиняется нормальному распределению со средним значением m и, следовательно, плотность вероятности случайной величины Х

при х = Х достигает максимума в точке m = Х (это свойство и выражает точное содержание распространённого в теории ошибок утверждения «оценка X, вычисленная согласно Н. к. м., — наиболее вероятное значение неизвестного параметра m»).

  Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины m произведено n независимых наблюдений, давших результаты Y₁, Y₂,..., Y_n, т. е. Y₁ = m + d₁, Y₂ = m + d₂,..., Y_n = m + d_n, где d₁, d₂,..., d_n — случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок, случайные ошибки — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием: Еd_i = 0; если же Ed_i ¹ 0, то Еd_i, называются систематическими ошибками). Согласно Н. к. м., в качестве оценки величины m принимают такое X, для которого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

  где p_i = k/s_i² и s_i² = Dd_i = Ed_i²

(коэффициент k > 0 можно выбирать произвольно). Величину p_i называют весом, a s_i — квадратичным отклонением измерения с номером i. В частности, если все измерения равноточны, то s₁ = s₂ =... = s_n, и в этом случае можно положить p₁ = p₂ =... = p_n = 1; если же каждое Y_i, — арифметическое среднее из n_i, равноточных измерений, то полагают p_i = n_i.

  Сумма S (X) будет наименьшей, если в качестве Х выбрать взвешенное среднее:

Оценка  величины m лишена систематической ошибки, имеет вес Р и дисперсию

В частности, если все измерения равноточны, то Y — арифметическое среднее результатов измерений:

  При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то распределение оценки  мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией k/P. В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства

меньше

с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58) = 0,990; I (3,00) = 0,997].

  Если веса измерений p_i заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки  могут быть приближённо оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематических ошибок).

  В том практически важном случае, когда ошибки d_i подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства

окажется меньше ts (t — произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t, называют функцией распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы и вычисляют по формуле

где постоянная C_n-1 выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: I_n-1(¥) = 1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58; истинные значения t, определяемые при малых n как решения соответствующих уравнений l_n-1(t) = 0,99, приведены в таблице:

Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y_i (в г):

(здесь n_i — число случаев, в которых наблюдался вес Y_i, причём n = Sn_i, = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить p_i = n_i и в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину

Задавая, например, I₉ = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину

  Т. о. 18,420 < m < 18,442.

  Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y₁, Y₂,..., Y_n связаны с m неизвестными величинами x₁, x₂,..., х_m (m < n) независимыми линейными отношениями

где a_ij — известные коэффициенты, а d_i — независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины x_j (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x₁ и m = a_i1 = 1; i = 1,2,..., n).

  Так как Еd_i = 0, то средние значения результатов измерений y_i, = Ey_i. связаны с неизвестными величинами x₁, x₂,..., х_m линейными уравнениями (линейные связи):

  Следовательно, искомые величины x_j представляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин y_i и случайные ошибки d_i обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения

  Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных x_j применяют такие величины X_j, для которых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае, p_i — вес измерения Y_i, — величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки d_i). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях X_j разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае

также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения X_j, которые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X_j; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X₁, X₂,..., Х_m, при которых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки X_j, полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:

где

  Оценки X_j, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (Ex_j = x_j); дисперсии Dx_j; величин X_j равны kd_jj/d, где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_ja_j] (иными словами, d_jj/d — вес оценки X_j). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии Dx_j служат формулы:

  k » S/(n - m) и Dx_j » s²_j = Sd_jj/d (n - m)

(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_i подчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j)/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X₁, X₂,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок Dx_j » s²_j не зависят от самих оценок X_j.

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i, для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i), где a_j (t) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t₁, t₂,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t) — многочлены [например, a₁(t) = 1, a₂(t) = t, a₃(t) = t²,... и т.д.]; если t₂ — t₁ = t₃ — t₂ =... = t_n — t_n-1, a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t) = cos (j - 1) t, j = 1, 2,..., m].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то Ey_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: Ey_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁a₁] X₁ = [Ya₁]; [a₂a₂] X₂ = [Ya₂],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y_i). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X₁ = -0,35 и X₂ = -0,00524, то

  Dx₁ » s₁² = 0,00427,

  Dx₂ » s₂² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.

  Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_jl/s_j (j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x₁ = x₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X₁|/s₁ и |X₂|/s₂. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x₁ = x₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X₁|/s₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X₂|/s₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.

  Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.

  Лит.: Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Колмогоров А. Н., К обоснованию метода наименьших квадратов, «Успехи математических наук», 1946, т. 1, в. 1; Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Helmert F. R., Die Ausgieichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate..., 2 Aufl., Lpz., 1907.

  Л. Н. Большев.