Позитивна логіка , логіка, в якій прийнятними вважаються лише міркування, не пов'язані із спростуваннями, тобто з обгрунтуваннями помилковості висловів. Оскільки вираження «А — помилково» є лише інша форма вираження «Не-а», в П. л. відмовляються від будь-яких способів введення заперечення, до яких належать прийоми непрямих доказів, у тому числі доказів від осоружного, а також явні визначення заперечення типа ù А = df A ( f , де ù — знак заперечення É — імплікація, а f — пропозіциональная змінна або яке-небудь «допустиме» абсурдне твердження. П. л. можна назвати, таким чином, логікою без заперечення.
Логічні закони, відповідні правильним міркуванням в П. л. (або ж правила, що кодифікують способи таких міркувань), описуються і каталогізуються у відповідних логічних численнях, з яких найважливішими є позитивне імплікативне числення висловів з єдиною логічною операцією — імплікацією, і повне позитивне числення висловів з кон'юнкцією, диз'юнкцією, імплікацією і еквіваленцией.
Позитивне імплікативне числення висловів (детально про числення висловів див.(дивися) в ст. Логіка ) задається за допомогою двох аксиомних схем:
1. А É ( В É A),
2. ( A É ( В É З )) É (( А É У ) É ( А É C )
і правила modus ponens; повне позитивне числення висловів — додаванням до схем (1) і (2) наступних:
3. ( А & У ) É А ,
4. ( A & У ) É У,
5. А É ( В É ( A & У )) ,
6. ( A É З ) É (( B É З ) É (( А Ú У ) É C )) ,
7. А É ( A Ú B ) ,
8. В É ( A Ú B )
і визначення еквіваленциі як скорочення для вираження ( А É В ) & ( В É А ) . сильніші логічні числення виходять з числень П. л. послідовним неконсервативним розширенням (посиленням) їх систем аксіом або правил виводу. Так, приєднання до (1) і (2) аксиомной схеми
9. ( А É В ) É ((А Éù У ) É ù А )
або відповідного їй правила reductio ad absurdum дає мінімальну логіку Колмогорова (1925), а аналогічне додавання до повного позитивного числення висловів — мінімальну логіку Іохансона (1936). Приєднуючи: до останньої схему
Оскільки всі закони П. л. мають силу (доказові) в інтуїционістськой і класичній логіці (зворотне, природно, невірно), позитивні числення зазвичай розглядають як їх підсистеми — взагалі як «часткові системи». Істотно, проте, що позитивні числення, узяті «самі по собі», і «ті ж» числення «усередині» сильнішої логіки — це числення з різною семантикою логічних в'язок (операцій), яка для перших детермінується лише їх власними аксіомами або правилами вживання в'язок, а для других успадковується від сильнішої логіки.
Літ.: Черч А., Введення в математичну логіку пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1, М., 1960 § 26; Расева Е., Сикорський Р., Математика метаматематики, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1972, гл.(глав) 1:1 §§ 2—6.
