де a ik = a ki , що набуває ненегативних значень при будь-яких дійсних значеннях x 1 , х 2 ..., x n і що перетворюється на нуль лише при x 1 = х 2 = ... = x n = 0. Т. о., П.-о. ф. є квадратична форма спеціального типа. Будь-яка П.-о. ф. приводиться за допомогою лінійного перетворення до вигляду
x 2 i
Для того, щоб
a ik x i x до
була П.-о. ф. необхідно і досить, щоб D 1 > 0 ., D n > 0, де
В будь-якій аффінной системі координат відстань крапки від початку координат виражається П.-о. ф. від координат точки. Форма
,
(де — число, комплексно зв'язане з x до , див.(дивися) Комплексні числа ) така, що a ik = і f ³ 0 для всіх значень x 1 , х 2 ..., x n і f = 0 лише при x 1 = х 2 = ... = x n = 0, називається ермітової П.- о. ф.
З поняттям П.-о. ф. зв'язані також поняття: 1) позитивно-певної матриці || a ik || — такий матриці, що
a ik x i x до
є ермітова П.-о. ф.;
2) позитивно-певного ядра — такої функції До ( х, в ) = , що
для будь-якої функції x( х ) з інтегрованим квадратом; 3) позитивно-певній функції — такій функції f ( x ) , що ядро До ( х, в ) = f ( x - в ) є позитивно-визначеним. Клас безперервних позитивно-певних функцій f ( x ) з f (0) = 1 збігається з класом характеристичних функцій законів розподілу випадкових величин.
