Пружності теорія , розділ механіки, в якому вивчаються переміщення, деформації і напруга, що виникають в пружних тілах, що покояться або рухомих, під дією навантаження. В. т. — теоретична основа розрахунків на міцність, деформованість і стійкість в будівельній справі, авіа- і ракетобудуванні, машинобудуванні, гірській справі і ін. областях техніки і промисловості, а також у фізиці сейсмології, біомеханіці і ін. науках. Об'єктами дослідження методами В. т, є всілякі тіла (машини, споруди, конструкції і їх елементи, гірські масиви, греблі, геологічні структури, частини живого організму і т.п.), що знаходяться під дією сил, температурних полів, радіоактивних опромінень і ін. дій. В результаті розрахунків методами В, т. визначаються допустимі навантаження, при яких в об'єкті, що розраховується, не виникає напруга або переміщення, небезпечні з точки зору міцності або недопустимі за умовами функціонування; найбільш доцільні конфігурації і розміри споруд, конструкцій і їх деталей; перевантаження, що виникають при динамічній дії, наприклад при проходженні пружних хвиль, амплітуди і частоти коливань конструкцій або їх частин і динамічна напруга, що виникає в них; зусилля, при яких що розраховується об'єкт втрачає стійкість. Цими розрахунками визначаються також матеріали, найбільш відповідні для виготовлення проектованого об'єкту, або матеріали, якими можна замінити частини організму (кісткові і м'язові тканини, кровоносні судини і т. п). Методи В. т. ефективно використовуються і для вирішення деяких класів завдань теорії пластичності (у методі послідовних наближень).
Фізичні закони пружності матеріалів, надійно перевірені експериментально і що мають місце для більшості матеріалів, принаймні при малих (а інколи і дуже великих) деформаціях, відображають взаємно однозначні залежності між поточними (миттєвими) значеннями напруги s і деформацій e, на відміну від законів пластичності, в яких напруга залежить від процесу зміни деформацій (при одних і тих же деформаціях, досягнутих шляхом різних процесів, напруги різні). При розтягуванні циліндрового зразка довжини l, радіусу r, з площею поперечного перетину F має місце пропорційність між розтягуючою силою Р, подовжнім подовженням зразка D l і поперечним подовженням D r , яка виражається рівністю:,, де s 1 = P/f – нормальна напруга в поперечному перетині, – относительноє подовження зразка, – відносне зміна поперечного розміру; Е – модуль Юнга (модуль подовжньої пружності), n – Пуассона коефіцієнт . При крученні тонкостінного трубчастого зразка дотична напруга t в поперечному перетині обчислюється по значеннях площі перетину, його радіусу і прикладеного моменту, що крутить. Деформація зрушення g, визначувана по нахилу створюючих, пов'язана з t рівністю t = G g, де G – модуль зрушення.
При випробуваннях зразків, вирізаних з ізотропного матеріалу по різних напрямах, виходять одні і ті ж значення Е, G і n. В середньому ізотропні багато конструкційних металів і сплави, гума, пластмаси, стекло, кераміка, бетон. Для анізотропного матеріалу (деревина, кристали, армовані бетон і пластики, шаруваті гірські породи і ін.) пружні властивості залежать від напряму. Напруга в будь-якій точці тіла характеризується шістьма величинами – компонентамі напруги: нормальною напругою s хх , s уу , s zz і дотичною напругою s ху , s уz , s zx , Причому s ху = s юшок і т.д. Деформація в будь-якій точці тіла також характеризується шістьма величинами – компонентамі деформацій: відносними подовженнями e хх , e уу , e zz і зрушеннями e ху , e уz , e zx , Причому e ху = e юшок і т.д.
Основним фізичним законом В. т. є узагальнений Гуку закон, згідно з яким нормальна напруга лінійно залежить від деформацій. Для ізотропних матеріалів ці залежності мають вигляд:
,,,
,,, (1)
де - середня (гідростатична) деформація, l і m = G – Ламі постійні . Т. о., пружні властивості ізотропного матеріалу характеризуються двома постійними l і m або якими-небудь вираженими через них двома модулями пружності .
Рівність (1) можна також представити у вигляді
, ..., (2)
.,
де – середня (гідростатичне) напруга, До – модуль всестороннього стискування.
Для анізотропного матеріалу 6 залежностей між компонентамі напруги і деформацій мають вигляд:
З тих, що входять сюди 36 коефіцієнтів c ij називаються модулями пружності, 21 між собою незалежні і характеризують пружні властивості анізотропного матеріалу.
Для нелінійного пружного ізотропного матеріалу в рівності (2) усюди замість m входить коефіцієнт, а співвідношення замінюється рівністю, де величина e u називається інтенсивністю деформації, а функції Ф і f , універсальні для даного матеріалу, визначаються з дослідів. Коли Ф (e u ) досягає деякого критичного значення, виникають пластичні деформації. Закони пластичності при пропорційному зростанні навантажень або напруги (просте вантаження) мають той же вигляд, але з ін. значеннями функцій Ф і f (закони теорії малих пружно-пластичних деформацій), а при зменшенні напруги (розвантаженню) мають місце співвідношення (1) або (2), в яких замість s ij і e ij підставляються їх прирости (різниці двох поточних значень).
Математичне завдання В. т. при рівновазі полягає в тому, щоб, знаючи зовнішні сили (навантаження), що діють, і т.з. граничні умови, визначити значення в будь-якій крапці тіла компоненти напруги і деформацій, а також компоненти u x , u в , і z ; вектора переміщення кожної частки тіла, тобто визначити ці 15 величин у вигляді функцій від координат x , в, z точок тіла. Початковими для вирішення цього завдання є диференціальні рівняння рівноваги:
,
, (4)
де r – щільність матеріалу, XYZ – проекції на координатні осі що діє на кожну частку тіла масової сили (наприклад, сили тяжіння), віднесені до маси цієї частки.
До трьох рівнянь рівноваги приєднуються 6 рівності (1) в разі ізотропного тіла і ще 6 рівності вигляду:
.,, ., (5)
що встановлюють залежності між компонентамі деформацій і переміщень.
Коли на частину S 1 граничній поверхні тіла діють задані поверхневі сили (наприклад, сили контактної взаємодії), проекції яких, віднесені до одиниці площі, рівні F x , F в , F z , а для частини S 2 цій поверхні задані переміщення її точок j х , j в , j z , граничні умови мають вигляд:
(на S 1 ) (6)
,, (на S 2 ) (7)
де l 1 , l 2 , l 3 – косинуси кутів між нормаллю до поверхні і координатними осями. Перші умови означають, що шукана напруга повинна задовольняти на кордоні S 1 трьом рівності (6), а другі – що шукані переміщення повинні задовольняти на кордоні S 2 рівності (7); у окремому випадку може бути j x = j в = j z = 0 (частина поверхні S 2 жорстко закріплена). Наприклад, в завданні про рівновагу греблі масова сила – сила тяжіння, поверхня S 2 підошви греблі нерухома, на останній поверхні S 1 діють сили: натиск води, тиск різних надбудов, транспортних засобів і т.д.
В загальному випадку поставлене завдання є просторовим завданням В. т., вирішення якої важко здійсненно. Точні аналітичні рішення є лише для деяких приватних завдань: про вигин і кручення бруса про контактну взаємодію двох тіл, про концентрацію напруги, про дію сили на вершину конічного тіла і ін. Т. до. рівняння В. т. є лінійними, те рішення задачі про спільну дію двох систем сил виходить шляхом підсумовування рішень для кожної з систем сил, що діють окремо (принцип лінійної суперпозиції). Зокрема, якщо для якого-небудь тіла знайдено вирішення при дії зосередженої сили в якій-небудь довільній точці тіла, то рішення задачі при довільному розподілі навантажень виходить шляхом підсумовування (інтеграції). Такі рішення, називаються Гріна функціями, отримані лише для невеликого числа тіл (необмежений простір, напівпростір, обмежений плоскістю, і деякі ін.). Запропонований ряд аналітичних методів рішення просторової задачі В. т.: варіаційні методи (Рітца, Бубнова – Галеркіну, Кастільяно і ін.), метод пружних потенціалів, метод Бетти і ін. Інтенсивно розробляються чисельні методи (кінечно-різницеві, метод кінцевих елементів і ін.). Розробка загальних методів рішень просторової задачі В. т. – одна з найбільш актуальних проблем В. т.
При вирішенні плоских завдань В. т. (коли один з компонентів переміщення дорівнює нулю, а два інших залежать лише від двох координат) широке вживання знаходять методи теорії функцій комплексного змінного. Для стрижнів, пластин і оболонок, часто використовуваних в техніці, знайдені наближені вирішення багатьох практично важливих завдань на основі деяких спрощуючих припущень. Стосовно цих об'єктів специфічний інтерес представляють завдання про стійкість рівноваги (див. Стійкість пружних систем ) .
В завданні термопружності визначаються напруга і деформації, що виникають унаслідок неоднорідного розподілу температури. При математичній постановці цього завдання в праву частину перших трьох рівнянь (1) додається член, де а – коефіцієнт лінійного теплового розширення, T ( x 1 , x 2 , x 3 ) – задане поле температури. Аналогічним чином будується теорія електромагнітопружності і пружності що піддаються опроміненню тіл.
Великий практичних інтерес представляють завдання В. т. для неоднорідних тіл. У цих завданнях коефіцієнт l, m в рівнянні (1) є не константами, а функціями координат, що визначають поле пружних властивостей тіла, яке інколи задають статистично (у вигляді деяких функцій розподілу). Стосовно цих завдань розробляються статистичні методи В. т., що відображають статистичну природу властивостей полікристалічних тіл.
В динамічних завданнях В. т. шукані величини є функціями координат і часу. Початковими для математичного вирішення цих завдань є диференціальні рівняння рухи, що відрізняються від рівнянь (4) тим, що праві частини замість нуля містять інерційні члени і т.д. До вихідних рівнянь повинні також приєднуватися рівняння (1), (5) і, окрім граничних умов (6), (7), ще задаватися початкові умови, що визначають, наприклад розподіл переміщенні і швидкостей часток тіла в початковий момент часу. До цього типа відносяться завдання про коливання конструкцій і споруд, в яких можуть визначатися форми коливань і їх можливі зміни, амплітуди коливань і їх наростання або убування в часі, резонансні режими, динамічна напруга, методи збудження і гасіння коливань і ін., а також завдання про поширення пружних хвиль (сейсмічні хвилі і їх дія на конструкції і споруди хвилі, що виникають при вибухах і ударах, термопружні хвилі і т.д.).
Одній з сучасних проблем В. т. є математична постановка завдань і розробка методів їх рішення при кінцевих (великих) пружних деформаціях.
Експериментальні методи В. т. (метод багатоточкового тензометрування, поляризаційно-оптичний метод дослідження напруги, метод муаров і ін.) дозволяють в деяких випадках безпосередньо визначити розподіл напруги і деформацій в досліджуваному об'єкті або на його поверхні. Ці методи використовуються також для контролю рішень, отриманих аналітичними і чисельними методами, особливо коли рішення знайдені при яких-небудь спрощуючих допущеннях. Інколи ефективними виявляються експериментально-теоретичні методи, в яких часткова інформація про шукані функціях виходить з дослідів.
Літ.: Ляв А., Математична теорія пружності, пер.(переведення) з англ.(англійський), М. – Л., 1935; Лейбензон Л. С., Курс теорії пружності, 2 видавництва, М. – Л., 1947; Мусхелішвілі Н. І., Деякі основні завдання математичної теорії пружності, 5 видавництво, М., 1966; Тривимірні завдання математичної теорії пружності, Тб., 1968; Лурье А. І., Теорія пружності, М., 1970; Стрет Дж. Ст (лорд Релей), Теорія звуку пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1–2, М., 1955; Теорія температурної напруги, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1964; Снеддон І. Н., Беррі Д. С., Класична теорія пружності, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теорія пружності, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1975.
