1) у гідромеханіці — рівняння руху жид який середовища, записані в змінних Лагранжа, якими є координати часток середовища. З Л. в. визначається закон руху часток середовища у вигляді залежностей координат від часу, а по ним знаходяться траєкторії, швидкості і прискорення часток. Зазвичай ця дорога дослідження виявляється досить складною, і при вирішенні більшості гидромеханічеських завдань йдуть іншим шляхом, використовуючи Ейлера рівняння гідромеханіки. Л. в. застосовують головним чином при вивченні коливальних рухів рідини.
Л. в. є рівняннями в приватних похідних і мають вигляд:
( i = 1, 2, 3),
де t — час, х, в, z — координати частки, a 1 , a 2 , a 3 — параметри, якими відрізняються частки один від одного (наприклад, початкові координати часток), X, Y, Z — проекції об'ємних сил, р — тиск, r — щільність.
Вирішення конкретних завдань зводиться до того, щоб, знаючи X, Y, Z , а також початкові і граничні умови, знайти х, в, z, р, r як функції t і а 1 , a 2 , a 3 . При цьому треба використовувати ще нерозривності рівняння (теж в змінних Лагранжа) і рівняння стану у вигляді r = f ( Р ) (для нестискуваної рідини r — const).
2) У загальній механіці — рівняння, вживані для вивчення рухи механічної системи, в яких за величини, що визначають положення системи, вибирають незалежні між собою параметри, називають узагальненими координатами . Вперше отримані Ж. Лагранжем в 1760.
Рух механічної системи можна вивчати, використовуючи або безпосередньо рівняння, які дає 2-й закон динаміки, або отримувані як наслідку із законів динаміки загальні теореми (див. Динаміка ) . Перша дорога приводить до необхідності вирішувати велике число рівнянь, залежне від числа крапок і тіл, що входять в систему; крім того, ці рівняння містять додаткові невідомі у вигляді реакцій накладених зв'язків (див. Зв'язки механічні ) . Все це приводить до великих математичних труднощів. Друга дорога вимагає вживання кожного разу різних теорем і для складних систем приводить у результаті до тих же труднощів.
Л. в. дають для широкого класу механічних систем єдиний і досить простий метод складання рівнянь руху, не залежний від вигляду (складнощі) конкретної системи. Велика перевага Л. в. полягає в тому, що число їх дорівнює числу мір свободи системи і не залежить від кількості вхідних в систему крапок і тіл. Наприклад, машини і механізми складаються з багатьох тіл (деталей), а мають зазвичай 1—2 міри свободи; отже, вивчення їх руху зажадає складання лише 1—2 Л. в. Крім того, при ідеальних зв'язках з Л. в. автоматично виключаються всі невідомі реакції зв'язків. По цих причинах Л. в. широко використовуються при вирішенні багатьох завдань механіки, зокрема в динаміці машин і механізмів, в теорії коливань, теорії гіроскопа і ін. Окрім цього, у разі, коли на систему діють лише потенційні сили, Л. в. приводяться до вигляду, що дозволяє використовувати їх (при відповідному узагальненні понять) не лише в механіці, але і в ін. галузях фізики.
де q i — узагальнені координати, число яких дорівнює числу n мір свободи системи, — узагальнені швидкості, Q i — узагальнені сили, Т — кінетична енергія системи, виражена через q i і .
Для складання рівнянь (1) треба знайти вираження Т і обчислити по заданих силах Q i . Після підстановки Т в ліві частини рівняння (1) міститимуть координати q i і їх перші і другі похідні за часом, тобто будуть диференціальними рівняннями 2-го порядку відносно q i . Інтегруючи ці рівняння і визначаючи постійні інтеграції за початковими умовами, знаходять залежності q i ( t ), тобто закон руху системи в узагальнених координатах.
Коли на систему діють лише потенційні сили, Л. в. набирають вигляду:
( i = 1,2 ..., n ),
де L = Т — П — т.з. функція Лагранжа, а П — потенційна енергія системи. Ці рівняння використовуються і в ін. галузях фізики.
Рівняння (1) і (2) називають ще Л. в. 2-го роду. Окрім них, є Л. в. 1-го роду, що мають вигляд звичайних рівнянь в декартових координатах, але що містять замість реакцій зв'язків пропорційні їм невизначені множники. Особливими перевагами ці рівняння не володіють і використовуються рідко, головним чином для відшукання реакцій зв'язків, коли закон руху системи знайдений іншим шляхом, наприклад за допомогою рівнянь (1) або (2).
Літ. див.(дивися) при ст. Механіка . Про Л. в. у гідромеханіці див.(дивися) Кочин Н. Е., Кибель І. А., Розі Н. Ст, Теоретична гідромеханіка, 6 видавництво, ч. 1, М., 1963.
