Коливання кристалічної решітки
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Коливання кристалічної решітки

Коливання кристалічної решітки, один з основних видів внутрішніх рухів твердого тіла, при якому складові його частки (атоми або іони) вагаються біля положень рівноваги — вузлів кристалічної решітки. До. до. р., наприклад, у вигляді стоячих або таких, що біжать звукових хвиль виникають всякий раз, коли на кристал діє зовнішня сила, що змінюється з часом. Проте  і у відсутність зовнішніх дій в кристалі, що знаходиться в тепловому рівновазі з довкіллям, встановлюється стаціонарний стан коливань, подібно до того як в газі встановлюється стаціонарний розподіл атомів або молекул за швидкістю їх поступальної ходи.

загрузка...

  Характер цих коливань залежить від симетрії кристала, числа атомів в його елементарному вічку, типа хімічному зв'язку, а також від вигляду і концентрації дефектів в кристалах . Зсуву і атомів в процесі коливань тим більше, чим вище температура, але вони значно менше постійних грат аж до температури плавлення, коли тверде тіло перетворюється на рідину. Сили, які прагнуть утримати атоми в положеннях рівноваги, пропорційні їх відносним зсувам так, як якби вони були зв'язані один з одним пружинками ( мал. 1 ). Представлення кристала у вигляді сукупності часток, зв'язаних ідеально пружними силами, називається гармонійним наближенням.

  В кристалі, що складається з N елементарних вічок по n атомів в кожній, існує 3nn — 6 типів простих коливань у вигляді стоячих хвиль, званих нормальними (або власними) коливаннями, або модами. Їх число дорівнює числу мір свободи в сукупності часток кристала за вирахуванням трьох мір свободи, що відповідають поступальному, і три — обертальному руху кристала як цілого (див. Мір свободи число ) . Числом 6 можна нехтувати, оскільки 3nn — величина ~ 10 22 —10 23 для 1 см 3 кристала.

  В процесі нормального вагання всі частки кристала вагаються біля своїх положень рівноваги з однією і тією ж постійною частотою w згідно із законом u ~ sinw· t  подібно до простого гармонійного осцилятора. У кристалі одночасно можуть бути присутніми всі можливі нормальні коливання, причому кожне протікає так, як якби останніх не було зовсім. Будь-який рух атомів в кристалі, що не порушує його мікроструктури, може бути представлено у вигляді суперпозиції нормальних коливань кристала.

  Кожну стоячу хвилю нормального вагання можна, у свою чергу, представити у вигляді двох пружних плоских хвиль, що біжать, поширюються в протилежних напрямах (нормальні хвилі). Плоска хвиля, що біжить, окрім частоти w, характеризується хвилевим вектором до, що визначає напрям руху фронту хвилі і довжину хвилі l = 2 p/k а також поляризацією, яка визначає характер індивідуального руху часток. У загальному випадку має місце еліптична поляризація, коли кожен атом описує еліпс біля свого положення рівноваги ( мал. 2 ), при цьому нормаль до плоскості еліпса не збігається по напряму з до. Еліптичні орбіти однакові для ідентичних атомів, що займають еквівалентні положення в гратах. У тих кристалах, де кожен вузол є центром симетрії (див. Симетрія кристалів ), всі нормальні хвилі плоськополярізовани: атоми в будь-якому нормальному ваганні здійснюють зворотно-поступальні рухи біля своїх положень рівноваги.

  Дисперсія нормальних хвиль. При кожному значенні до існує 3n типів нормальних хвиль з різною поляризацією. Вони нумеруються цілочисельною змінною s = 1, 2... 3n і називається гілками нормальних коливань. Для хвиль даного типа s величини w і до не можуть бути довільними, а зв'язані між собою певним співвідношенням w = w( до, s) , називається законом дисперсії. Наприклад, якщо представити кристал у вигляді сукупності однакових атомів маси т, розташованих на рівних відстанях а один від одного і зв'язаних попарно пружинами з жорсткістю g так, що вони утворюють безконечний ланцюжок і можуть зміщуватися лише уздовж її осі ( мал. 3 , а) , те елементарне вічко складається з однієї частки і існує одна гілка частоти нормальних коливань із законом дисперсії:

  .

  В двоатомного лінійного ланцюжка ( мал. 3 , би) вічко містить 2 частки з масами т і М-код і є 2 гілки із складнішим законом дисперсії ( мал. 4 ): , , , ( M > m ) .

  Пружні хвилі в кристалі завжди володіють дисперсією . Зокрема, їх фазова швидкість, як правило, відрізняється від групової, з якою по кристалу переноситься енергія коливань. Тоді як частота w пружних хвиль що поширюються в безперервному середовищі, необмежено зростає із зростанням до, в кристалі завдяки періодичному розташуванню атомів і кінцевій величині сил, що зв'язують їх, існує деяка максимальна частота коливань w макс (зазвичай ~10 13 гц ) . Власні частоти можуть не суспіль заповнювати інтервал від w = 0 до w = w макс , в нім можуть бути порожні ділянки (заборонені зони), що розділяють дві наступні один за одним гілки. Забороненої зони між сусідніми гілками немає, якщо гілки перекриваються. Коливання, відповідні забороненим зонам і з частотою w > w макс , не можуть поширюватися в кристалі, вони швидко затухають.

  Акустична і оптична гілці. Три перші гілки коливань з s = 1,2,3 називаються акустичними. У разі, коли довжина хвилі l значно перевищує найбільший з періодів просторових грат ( до — мало), вони характеризуються лінійним законом дисперсії w = з · до. Це звичайні звукові хвилі, а з — фазова швидкість їх поширення, залежна від напряму поширення і поляризації. Вони плоськополярізовани в одному з трьох взаємно перпендикулярних напрямів відповідно трьом значенням s = 1, 2, 3 і відповідають коливанням кристала як суцільного середовища. У анізотропному кристалі жодне з цих напрямів зазвичай не збігається з напрямом поширення хвилі, тобто з до. Лише в пружному ізотропному середовищі звукові хвилі мають чисто подовжню і чисто поперечну поляризації. Акустичні гілки охоплюють діапазон частот від нуля до ~ 10 13 гц. Проте із зменшенням довжини хвилі закон дисперсії стає складнішим.

  Для останніх ( n— 1) гілок частоти зсуву атомів в процесі коливань, відповідних великій довжині хвилі, відбуваються так, що центр мас окремого елементарного вічка покоїться. У іонних кристалах, елементарне вічко яких складається з іонів протилежних знаків, рух такого типа можна збудити змінним електричним полем, наприклад світловою хвилею, з частотою, лежачою, як правило, в інфрачервоній області. Тому ці гілки називаються оптичними. Свою назву акустична гілка отримала по початковій ділянці (), початкова ділянка акустичної гілки — звичайний звук.

  Фонони. Кожній плоскій хвилі, що біжить, з вектором до і частоти w можна поставити у відповідність сукупність рухомих квазічастинок з імпульсом р = до і енергії E = w, де  — Планка постійна (див. Корпускулярно-хвильовий дуалізм ) . Ці квазічастинки є квантами поля До. до. р. і називаються фононами по аналогії з фотонами — квантами електромагнітного поля.

  Вплив До. до. р. на властивості кристалів. Атоми осцилюють біля положень рівноваги тим інтенсивніше, чим вище температура кристала. Коли амплітуда коливань перевищує деяке критичне значення, настає плавлення і кристалічна структура руйнується. З пониженням температури амплітуда зменшується і стає мінімальною при Т = 0 К. Полная зупинка атомів з перетворенням їх енергії на нуль, через закони квантової механіки, неможлива, і вони при Т = 0 До здійснюють «нульові» коливання. Оскільки енергія «нульових» коливань зазвичай недостатня, щоб тверде тіло розплавилося, то з пониженням температури всі рідини рано чи пізно тверднуть. Єдиним виключенням є гелій, який залишається рідким аж до температури 0 До і твердне лише під тиском.

  Кількісною характеристикою здатності кристала запасати тепло у вигляді енергії коливань служить гратчаста теплоємність. Будучи віднесеною до одного атома, вона виявляється приблизно рівною 3 до Би ( k Би Больцмана постійна ) при високих температурах ( Дюлонга і Пті закон ) і пропорційній Т 3 коли Т наближається до 0 До.

  В металах і напівпровідниках, окрім атомів або іонів, є також вільні електрони, які у присутності електричного поля створюють електричний струм. Закони їх руху такі, що вони безперешкодно проходят крізь ідеальний кристал з іонів, що знаходяться в стані «нульових» коливань. Тому опір електричному струму при Т =0 До виникає лише постільки, поскільки в кристалах завжди є дефекти, розсіюючі електрони. Проте при температурах Т > 0 До коливання хаотично порушують ідеальну періодичність грат і створюють додаткове — гратчасте, або фононне, електроопір. Стикаючись з осцилюючими атомами електрони передають кристалічному остову частину енергії своєї направленої поступальної ходи, яка виділяється у вигляді джоульова тепла.

  Ангармонізм. Насправді повертаючі сили не строго пропорційні зсувам атомів з положень рівноваги і вагання кристала не є строго гармонійними (ангармонізм). Нелінійність междуатомних сил мала, оскільки малі амплітуди коливань. Проте

завдяки ній окремі нормальні коливання не є незалежними, а виявляються зв'язаними один з одним і між ними можливий резонанс, як в системі зв'язаних маятників.

  В процесі встановлення термодинамічної рівноваги в кристалах ангармонізм грає ту ж роль, що і зіткнення часток в газі. Він, зокрема, пояснює теплове розширення кристалів, відхилення від Дюлонга і Пті закону в області високих температур, а також відмінність один від одного ізотермічних і адіабатичних пружних постійних твердого тіла і їх залежність від температури і тиску (див. Пружність ) .

  При нерівномірному нагріванні твердого тіла в нім виникають потоки тепла. У металах велика частина його переноситься електронами, а в діелектриках нормальними хвилями (фононами). Тому якщо мати на увазі діелектрики або гратчасту частину теплопровідності металів, то у відсутності ангармонізму тепловий потік поширювався б із швидкістю нормальних хвиль, тобто приблизно із швидкістю звуку. Завдяки ангармонізму хвилі в тепловому потоці обмінюються енергією і інтерферують один з одним. В процесі такої інтерференції відбувається втрата сумарного імпульсу теплового потоку. В результаті виникає теплоопір, а теплова енергія переноситься з дифузійною швидкістю, набагато меншій швидкості поширення пружної енергії, наприклад звукової хвилі. Ангармонізм є також одній з причин загасання ультразвука в кристалах.

  Локальні і квазілокальні коливання. На характер До. до. р. істотно впливають дефекти кристалічної решітки. Жорсткість міжатомних зв'язків і маси часток в області дефекту відрізняються від таких для ідеального кристала, називаються еталонним або матрицею. В результаті цього нормальні хвилі не є плоскими. Наприклад, якщо дефект — це домішковий атом маси т 0 , пов'язаний з сусідами пружинами жорсткості g 0 , то може статися, що його власна частота коливань  попаде в заборонену область частот матриці. У такому ваганні активно бере участь лише домішковий атом, тому воно і називається локальним. Оскільки в реальному кристалі дефектів завжди багато (див. Дефекти в кристалах ) , те локальне вагання, будучи збудженим на одному дефекті, може перейти на іншій, як при резонансі однакових слабо зв'язаних маятників. Тому локальні коливання володіють цілим спектром частот, які утворюють домішкову зону частот До. до. р.

  Поряд з локальними коливаннями в області низьких частот можуть існувати так звані квазілокальні коливання. Зокрема, такі коливання є в кристалі з важкими домішковими атомами. Квазілокальні коливання при низьких температурах різко збільшують гратчасту теплоємність, коефіцієнт термічного розширення, тепло- і електроопір. Так, наприклад, 2—3% домішкових атомів, в 10 разів важчих, ніж атоми матриці, здатні при малих Т подвоїти гратчасту теплоємність і коефіцієнт термічного розширення.

  Локальні коливання протяжних дефектів, наприклад дислокації, поширюються уздовж них у вигляді хвиль, але в матрицю, як і в разі точкових дефектів, не проникають. Частоти цих коливань можуть належати як забороненою, так і дозволеної області частот матриці, відрізняючись від них законом дисперсії. Такі, наприклад, звукові поверхневі хвилі, що виникають в плоского кордону твердого тіла (хвилі Релея).

  Експериментальні методи вивчення До. до. р. всілякі. Одним з методів вивчення локальних і квазілокальних До. до. р. служить їх збудження за допомогою інфрачервоного випромінювання. Воно супроводиться резонансним зменшенням прозорості кристала і дозволяє не лише виявити ці коливання, але і визначити їх частоти.

  Дослідження непружного розсіяння нейтронів в кристалах дозволяють визначити закон дисперсії і поляризацію нормальних коливань. Закон дисперсії може бути також відновлений за допомогою дифузного розсіяння рентгенівських променів . Мессбауера ефект дозволяє безпосередньо визначити середньоквадратичні зсуви і імпульси атомів в процесі До. до. р.

  Літ.: Займан Дж., Електрони і фонони, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962; його ж, Принципи теорії твердого тіла, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966; Лейбфрід Р., Мікроскопічна теорія механічних і теплових властивостей кристалів, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1963; Марадудін А., Дефекти і коливальний спектр кристалів, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968; Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М., Статистична фізика, 2 видавництва, М., 1964: їх же, Теорія пружності, 3 видавництва, М., 1965 (Теоретична фізика, т. 7): Киттель Ч., Введення у фізику твердого тіла, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1963.

   Я. А. Іосильовський.

Мал. 4. Закон дисперсії двоатомного лінійного ланцюжка: 1 — акустична гілка; 2 — оптична гілка.

Мал. 2. Еліптична поляризація пружних хвиль в кристалі: до — хвилевий вектор.

Мал. 1. Представлення об'ємно-центрованого кубічного кристала у вигляді сукупності часток з масою m , зв'язаних один з одним пружинами з жорсткостями g 1 і g 2 .

Мал. 3. Прості моделі кристала: а — лінійний одноатомний ланцюжок; би — лінійний двоатомний ланцюжок; m і M — маси двох часток, складових елементарне вічко.