«хі-квадрат» розподіл з f мірами свободи, розподіл вірогідності суми квадратів
c 2 = X 1 2 +...+x f 2 ,
незалежних випадкових величин X 1 ..., X f , що підкоряються нормальному розподілу з нульовим математичним чеканням і одиничною дисперсією. Функція «Х.-к.» р. виражається інтегралом
,
Перші три моменту (математичне чекання дисперсія і третій центральний момент) суми c 2 рівні відповідно f , 2 f , 8 f . Сума два незалежних випадкових величин c 1 2 і c 2 2 , з f 1 і f 2 мірами свободи підкоряється «Х.-к.» р. с f 1 + f 2 мірами свободи.
Прикладами «Х.-к.» р. можуть служити розподіли квадратів випадкових величин, що підкоряються Релея розподілу і Максвелла розподілу . В термінах «Х.-к.» р. з парним числом мір свободи виражається Пуассона розподіл :
.
Якщо кількість доданків f суми c 2 необмежено збільшується, то згідно центральної граничній теоремі розподіл нормованого відношення сходиться до стандартного нормального розподілу:
,
де
.
Наслідком цього факту є інше граничне співвідношення, зручне для обчислення F f ( x ) при великих значеннях f :
В математичній статистиці «Х.-к.» р. використовується для побудови інтервальних оцінок і статистичних критеріїв. Якщо Y 1 ,..., Y n — випадкові величини, що є результатами незалежних вимірів невідомою постійною а , причому помилки вимірів Y i — а незалежні, розподілені однаково нормально і
Е ( Y i — а ) = 0, Е ( Y i — а ) 2 = s 2 ,
те статистична оцінка невідомої дисперсії s 2 виражається формулою
,
де
.
Відношення S 2 / s 2 підкоряється «Х.-к.» р. з f = n — 1 мірами свободи. Хай x 1 і x 2 — позитивні числа, що є вирішеннями рівнянь F f ( x 1 ) = a/2 і F f ( x 2 ) = 1 — a/2 [a — задане число з інтервалу (0, 1 / 2 )]. У такому разі
Р { х 1 < S 2 / s 2 < x 2 ) = Р { S 2 /x 2 < s 2 < S 2 /x 1 } = 1—a.
Інтервал ( S 2 /x 1 , S 2 /x 2 ) називають довірчим інтервалом для s 2 , відповідним коефіцієнту довіри 1, — а. Такий спосіб побудови інтервальної оцінки для s 2 часто застосовується з метою перевірки гіпотези, згідно якої s 2 = s 0 2 (s 0 2 — задане число): якщо s 0 2 належить вказаному довірчому інтервалу, то робиться висновок, що результати вимірів не протіворечат гіпотезі s 2 = s 0 2 . Якщо ж
s 0 2 £ S 2 /x 2 або s 0 2 ³ S 2 /x 1 ,
те потрібно рахувати, що s 2 > s 0 2 або s 2 < s 0 2 відповідно. Такому критерію відповідає значущості рівень, рівний а.
Літ.: Крамер Г., Математичні методи статистики, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, М., 1975.
