Сингулярні інтегральні рівняння, інтегральні рівняння з ядрами, що звертаються в нескінченність в області інтеграції так, що відповідний невласний інтеграл, що містить невідому функцію, розходиться і замінюється своїм головним значенням по Коші. Прикладом С. і. в. може служити наступне рівняння з т.з. ядром Гільберта:
вирішенням якого є функція
,
,,
де перший інтеграл також розуміється в сенсі головного значення по Коші.
Добре вивченим загальним класом С. і. в. є рівняння з ядром Коші вигляду:
, (*)
де а ( t ), b ( t ), f ( t ) — задані безперервні функції точки t дороги інтеграції L (який може складатися з кінцевого числа гладких замкнутих або незамкнутих кривих, що не самонепересекающихся, з безперервною кривизною) в комплексній плоскості; сингулярний інтеграл
розуміється як межа при e ® 0 інтеграла j по дорозі L e , який виходить з L після видалення симетричною відносно крапки t дуги довжини 2e. Ядро K ( t , z ) передбачається таким, що належить до одного з тих класів, які розглядаються в теорії несингулярних інтегральних рівнянь. До С. і. в. вигляду (*) приводять багато завдань теорії аналітичних функцій, теорії пружності, гідродинаміки і ін.
Дослідження С. і. в. (*) спирається на властивості сингулярного інтеграла I j, які залежать від припущень, що робляться відносно j. Детально С. і. в. досліджені в просторі безперервних функцій j і в просторі функцій, інтегрованих з квадратом. Основна властивість сингулярного інтеграла I j виражається рівністю, справедливою для широкого класу функцій.
Багато результатів теорії С. і. в. майже без змін переносяться на системи С. і. в., які можна записати у вигляді (*), якщо під а і b розуміти матричні функції, а під f і j — вектори (одноколонні матриці). Теорія узагальнюється також на випадок системи С. і. в. з розривними коефіцієнтами і кусочно-гладким шляхом інтеграції. Вивчені також деякі класи С. і. в. у багатовимірних областях.
С. і. в. вперше (почало 20 ст) зустрілися в дослідженнях А. Пумнкаре (по теорії приливів) і Д. Гильберта (по краєвих завданнях). Ряд важливих властивостей С. і. в. встановив йому.(німецький) математик Ф. Нетер. Для розробки теорії С. і. в. важливе значення мали роботи Т. Карлеману і І. І. Прівалова . Якнайповніші результати отримані сов.(радянський) ученими (Н. І. Мусхелішвілі, І. Н. Векуа, В. Д. Купрадзе і ін.).
Літ.: Мусхелішвілі Н. І., Сингулярні інтегральні рівняння. Граничні завдання теорії функцій і деякі їх додатки до математичної фізики, 3 видавництва, М., 1968; Векуа Н. П., Системи сингулярних інтегральних рівнянь і деякі граничні завдання, 2 видавництва, М., 1970.
