Пі, p, буква грецького алфавіту, вживана в математиці для позначення певного ірраціонального числа, саме — стосунки довжини кола до діаметру. Це позначення (ймовірно, від греч.(грецький) perijereia коло, периферія) стало загальноприйнятим після роботи Л. Ейлера, що відноситься до 1736, проте вперше воно було спожите англійським математиком У. Джонсом (1706). Як і всяке ірраціональне число, p представляється безконечним неперіодичним десятковим дробом: p = 3,141592653589793238462643...
Потреби практичних розрахунків, що відносяться до кола і круглих тіл, змусили вже в глибокій старовині шукати для p наближень за допомогою раціональних чисел. Староєгипетські обчислення (2-е тисячоліття до нашої ери) площі круга відповідають наближеному значенню p » 3 або, точнішому, p » ( 16 / 9 ) 2 = 3,16049... Архімед (3 ст до н.е.(наша ера)), порівнюючи коло з правильними вписаними і описаними багатокутниками, знайшов, що p полягає між
= 3,14084... і = 3,14285
(останнім з цих наближень до цих пір користуються при розрахунках, що не вимагають великої точності). Китайський математик Цзу Чун-чжі (2-я половина 5 ст) отримав для p наближення 3,1415927, знов знайдене в Європі значно пізніше (16 ст); це наближення дає помилку лише в 7-м-коді десятковому знаку. Пошуки точнішого наближення p продовжувалися і надалі, наприклад аль-Каші (1-я половина 15 ст) обчислив 17 десяткових знаків p, голландський математик Лудольф ван Цейлен (почало 17 ст) — 32 десяткових знаку. Для практичних потреб, проте, досить знати декілька десяткових знаків числа p і простих виразів, p, що містять; у довідниках зазвичай даються наближені значення для p, 1/p і p 2 , lgp з 4—7 десятковими знаками.
Число p з'являється не лише при вирішенні геометричних завдань. З часу Ф. Вієта (16 ст) розшук меж деяких арифметичних послідовностей, що складаються за простими законами, приводило до цього ж числа p . Прикладом може служити ряд Лейбніца (1673—74):
Цей ряд сходиться дуже повільно. Існують ряди, що значно швидше сходяться, придатні для обчислення p . Так, наприклад, формула
p = 24 arc tg + 8 arc tg + 4 arc tg
де значення арктангенсів за допомогою ряду
arc tg x =
була використана (1962) для обчислення за допомогою ЕОМ(електронна обчислювальна машина) ста тисяч десяткових знаків числа p . Такого роду обчислення набувають інтересу у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел . Статистична обробка вказаної сукупності знаків p показує, що вона володіє багатьма межами випадкової послідовності.
Можливість чисто аналітичного визначення числа p має принципове значення і для геометрії. Так, в нєєвклідової геометрії p також бере участь в деяких формулах, але вже не як відношення довжини кола до діаметру (це відношення в нєєвклідової геометрії зовсім не є постійним). Засобами аналізу, серед яких вирішальну роль зіграла чудова формула Ейлера e 2 p i = 1 ( е — підстава натуральних логарифмів, див.(дивися) Неперово число ; ), була остаточно з'ясована і арифметична природа числа р.
В кінці 18 ст І. Ламберт і А. Лежандр встановили, що p — число ірраціональне, а в 1882 німецький математик Ф. Ліндеман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти жодному рівнянню алгебри з цілими коефіцієнтами. Теорема Ліндемана остаточно встановила неможливість рішення задачі про квадратурі круга за допомогою циркуля і лінійки.
Літ.: Про квадратуру круга (Архімед Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). З додатком історії питання..., пер.(переведення) з йому.(німецький), 3 видавництва, М.— Л., 1936; Shanks D., Wrench J. W., Calculation of p to 100 000 decimals, «Mathematics of Computation», 1962, v. 16 № 77.
