Лінійна вектор-функція , функція f ( x ) векторного змінного х , що володіє наступними властивостями: 1) f ( x + в ) = f ( x ) + f ( в ) , 2) f (l x ) = l f ( x ) (l — число). Л. у.-ф. у n -мерном просторі сповна визначається значеннями, що приймаються нею для n лінійно незалежних векторів. Скалярну (що набуває числових значень) Л. у.-ф. називають також лінійним функціоналом ; в n-mepном просторі вона виражається лінійною формою, f ( x ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n від координат x 1 , x 2 ..., x n вектора х . Прикладом скалярної Л. у.-ф. є скалярний твір вектора х і деякого постійного вектора а :
f ( x ) = ( а, х ) ,
в просторі, в якому визначений скалярний твір, всяка скалярна Л. у.-ф. має такий вигляд. Векторна (що набуває векторних значень) Л. у.-ф. визначає лінійне або аффінноє перетворення простору і називається також лінійним оператором, або афінором. Векторна Л. у.-ф. в = f ( x ) в n -мерном просторі виражається в координатах формулами:
y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n ,
y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n ,
...
y n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n .
Тут числа a ij ( i, j = 1, 2..., n ) складають матрицю векторною Л. у.-ф. Якщо визначити суму векторних Л. у.-ф. f ( x ) і g ( x ) як Л. у.-ф. f ( x ) + g ( x ) , а твір тих же функцій, як Л. у.-ф. g{f ( x ) }, те сумі і твору векторних Л. у.-ф. відповідатимуть сума і твір відповідних матриць. Прикладом векторної Л. у.-ф. є Л. у.-ф. вигляду:
f ( x ) = ( A 1 , х ) a 1 + ( А 2 , х ) a 2 +... + ( A n , х ) a n ,
де A 1 , A 2 ..., A n , a 1 , a 2 ... a n — постійні вектори; у n-мірному просторі, в якому визначений скалярний твір, всяка векторна Л. у.-ф. може бути представлена у такому вигляді.
Функцію декількох векторних змінних, що є Л. у.-ф. відносно кожного свого аргументу, називають полілінійною (білінійною, трілінейной і т. д.) вектор-функцією. Скалярний і векторний твори двох змінних векторів можуть служити прикладами, відповідно скалярній і векторній білінійних вектор-функцій. Полілінійні вектор-функції приводять до поняття тензора . Про Л. у.-ф. (лінійних функціоналах і операторах) у безконечномірному просторі див.(дивися) Функціональний аналіз .
