Клейна — Гордона рівняння, квантове релятивістське (тобто що задовольняє вимогам відносності теорії ) рівняння для часток із спином нуль. Історично До. — Р. в. було першим релятивістським рівнянням квантової механіки для хвилевої функції частки в; воно було запропоноване в 1926 Е. Шредінгером (як релятивістське узагальнення Шредінгера рівняння ) і незалежно від нього шведським фізиком О. Клейном (О. Klein), радянським фізиком Ст А. Фоком, німецьким фізиком В. Гордоном (W. Gordon) і ін.
Для вільної частки До. — Р. в. записується у вигляді:
.
Йому відповідає релятивістське співвідношення між енергією E і імпульсом р частки: ( m — маса частки, з — швидкість світла).
Вирішенням рівняння є функція в ( х, в, z, t ), залежна лише від координат ( х, в, z ) і часу ( t ) . Отже, частки описувані цією функцією, не володіють жодними додатковими внутрішніми мірами свободи, тобто дійсно є безспиновими (до таких часток відносяться, наприклад, p - і до-мезони). Проте аналіз рівняння показав, що його рішення в принципово відрізняється по своєму фізичному сенсу від звичайної хвилевої функції як амплітуди вірогідності виявити частку в заданому місці простору в заданий момент часу: в ( х, в, z, t ) не визначається однозначно значенням у в початковий момент часу (така однозначна залежність постуліруєтся в квантовій механіці), і, більш того, вираження для вірогідності даного стану поряд з позитивними значеннями може приймати також і позбавлені фізичного сенсу негативні значення. Тому спочатку від До. — Р. в. відмовилися. Проте в 1934 Ст Паулі і В. Вайськопф знайшли правильну інтерпретацію цього рівняння в рамках квантової теорії поля (вони розглянули його як рівняння поля, аналогічне Максвелла рівнянням для електромагнітного поля, і проквантовалі його; при цьому в стало оператором).
