Вибірковий метод, статистичний метод дослідження загальних властивостей сукупності яких-небудь об'єктів на основі вивчення властивостей лише частини цих об'єктів, узятих на вибірку. Математична теорія Ст м. спирається на два важливі розділи математичної статистики — теорію вибору з кінцевої сукупності і теорію вибору з безконечної сукупності. Основна відмінність Ст м. для кінцевою і безконечною совокупностей полягає в тому, що в першому випадку Ст м. застосовується, як правило, до об'єктів невипадкової, детермінованої природи (наприклад, число дефектних виробів в даній партії готової продукції немає випадковою величиною : це число — невідома постійна, яку і належить оцінити за вибірковими даними). У другому випадку Ст м. зазвичай застосовується для вивчення властивостей випадкових об'єктів (наприклад, для дослідження властивостей безперервно розподілених випадкових помилок вимірів, кожне з яких теоретично може тлумачити як реалізація одного з безконечної безлічі можливих результатів).
Вибір з кінцевої сукупності і його теорія є основою статистичних методів контролю якості і часто застосовуються в соціологічних дослідженнях (див. Вибіркове спостереження ). Згідно теорії вірогідності, вибірка правильно відображатиме властивості всієї сукупності, якщо вибір виробляється випадково, тобто так, що будь-яка з можливих вибірок заданого об'єму n з сукупності об'єму N [число таких вибірок рівне N !/ n !( N — n )!] має однакову вірогідність бути фактично вибраною.
На практиці найчастіше використовується вибір без повернення (бесповторная вибірка), коли кожен відібраний об'єкт перед вибором наступного об'єкту в досліджувану сукупність не повертається (такий вибір застосовується при статистичному контролі якості). Вибір з поверненням (вибірка з повторенням) розглядається зазвичай лише в теоретичних дослідженнях (прикладом вибору з поверненням є реєстрація числа часток, що торкнулися протягом даного часу стінок судини, усередині якої здійснюється броунівський рух ). Якщо n << N, то повторний і бесповторний вибори дають практично еквівалентні результати.
Властивості сукупності, досліджувані Ст м., можуть бути якісними і кількісними. У першому випадку завдання вибіркового обстеження полягає у визначенні кількості М-кодом об'єктів сукупності, що володіють якою-небудь ознакою (наприклад, при статистичному контролі часто цікавляться кількістю М-коду дефектних виробів в партії об'єму N ). Оцінкою для М-коду служить відношення m N/n , де m — число об'єктів з даною ознакою у вибірці об'єму n . В разі кількісної ознаки мають справу з визначенням середнього значення сукупності Оцінкою для є вибіркове середнє де x 1 ..., x n — ті значення з досліджуваної сукупності x 1 , x 2 ..., x N , які належать вибірці. З математичної точки зору 1-й випадок — приватний різновид 2-го, яка має місце, коли М-коди величин x i дорівнюють 1, а останні ( N — М-код ) дорівнюють 0; у цій ситуації і .
В математичній теорії Ст м. оцінка середніх значень займає центральне місце тому, що до неї до певної міри зводиться вивчення мінливості ознаки усередині сукупності, оскільки за характеристику мінливості зазвичай приймають дисперсію
що є середнім значенням квадратів відхилень x i від їх середнього значення . В разі вивчення якісної ознаки s 2 = М-код ( N — M )/ N 2 .
Про точність оцінок m/ n і судять по їх дисперсіях
які в термінах дисперсії кінцевої сукупності s 2 виражаються у вигляді стосунків s 2 / n (в разі вибірок з повторенням) і s 2 ( N — n ) / n ( N — 1) (в разі бесповторних вибірок). Оскільки в багатьох практично цікавих завданнях випадкові величини m/ n і при n ³ 30 приблизно підкоряються нормальному розподілу, то відхилення m/ n від M/n і від, що перевищують по абсолютній величині 2s m / n і відповідно, можуть при n ³ 30 здійснитися в середньому приблизно в одному випадку з двадцяти. Більш повну інформацію про розподіл кількісної ознаки в даній сукупності можна отримати за допомогою емпіричного розподіли цієї ознаки у вибірці.
Вибір з безконечної сукупності. У математичній статистиці результати яких-небудь однорідних спостережень (найчастіше незалежних) прийнято називати вибіркою навіть у тому випадку, коли ці результати не відповідають поняттю вибірки з повтореннями або без повторень з кінцевої сукупності. Наприклад, результати вимірів кутів на місцевості, схильні до незалежних безперервно розподілених випадкових помилок, часто називають вибіркою з безконечної сукупності. Передбачається, що принципово можна здійснити будь-яке число таких спостережень. Отримані фактично результати вважають вибіркою з безконечної безлічі можливих результатів, званих генеральною сукупністю.
Поняття генеральної сукупності не є логічно бездоганним і необхідним. Для вирішення практичних завдань потрібна не сама безконечна генеральна сукупність, а лише ті або інші характеристики, які їй ставляться у відповідність. Ці характеристики з точки зору теорії вірогідності є числовими або функціональними характеристиками деякого розподілу вірогідності, а елементи вибірки —случайнимі величинами, що підкоряються цьому розподілу. Таке тлумачення дозволяє розповсюдити на вибіркові оцінки загальну теорію статистичних оцінок .
З цієї причини, наприклад, в імовірнісній теорії обробки спостережень поняття безконечної генеральної сукупності замінюється поняттям розподілу вірогідності, що містить невідомі параметри. Результати спостережень тлумачаться як експериментально спостережувані значення випадкових величин, що підкоряються цьому розподілу, Мета обробки — обчислення за результатами спостережень в тому або іншому сенсі оптимальних статистичних оцінок для невідомих параметрів розподілу.
Літ.: Дунін-Барковський І. Ст, Смирнов Н. Ст, Теорія вірогідності і математична статистика в техніці (Загальна частина), М., 1955, гл.(глав) 5; Кендалл М., Стьюарт А., Теорія розподілів, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
