Безконечний твір, твір безконечного числа співмножників u 1 , u 2 , ..., u n ..., тобто вираження вигляду
Би. п., в якому співмножниками є числа, інколи звані безконечним числовим твором. Би. п. не завжди може бути приписане числове значення. Якщо існує відмінний від нуля межа послідовності часткових творів
pn = u 1 u 2 ... u n
при n ® ¥, то Б. п. називається таким, що сходиться, а lim pn = р — його значенням, і пишуть:
Історично Б. п. вперше зустрілися у зв'язку із завданням про обчислення числа р. Так, французький математик Ф. Вієт (16 ст) отримав формулу:
а англійський математик Дж. Валліс (17 ст) — формулу:
Особливе значення Б. п. придбали після робіт Л. Ейлера, що застосував Би. п. для зображення функцій. Прикладом може служити розкладання синуса:
Розкладання функцій в Би. п. аналогічні розкладанням многочленів на лінійні множники; вони чудові тим, що виявляють всі значення незалежного змінного, при яких функція перетворюється на нуль.
Для збіжності Б. п. необхідно і досить, щоб u n ¹ 0 для всіх номерів n, щоб u N > 0, починаючи з деякого номера N, і щоб сходилися ряд
Т. о., дослідження збіжності Б. п. еквівалентно дослідженню збіжності цього ряду.
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, т. 2, М.— Л., 1966; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, М., 1965.
