(Е. і. першого роду, або бета-функція, вивчена Л. Ейлером в 1730—31, раніше розглядалася І. Ньютоном і Дж. Валлісом ) і
(2)
[Е. і. другого роду, або гамма-функція, розглянута Л. Ейлером в 1729—30 у формі, еквівалентній формулі (2); сама формула (2) зустрічається у Ейлера в 1781]; назва «Е. і.» дане А. Лежандром . Е. і. дозволяють узагальнити на випадок безперервний що змінюються аргументів біноміальні коефіцієнти і факторіал n !, бо, якщо а і b — натуральні числа, то
, Г ( а +1) = а !
Інтеграли (1) і (2) абсолютно сходяться, якщо а і b позитивні, і перестають існувати, якщо а і b негативні. Мають місце співвідношення
В ( а , b ) = B ( b , а ) ;
останнє зводить бету-функцію до гамма-функції. Існує ряд співвідношень між Е. і. при різних значеннях аргументу, узагальнювальних відповідні співвідношення між біноміальними коефіцієнтами. Е. і. можна розглядати і при комплексних значеннях аргументів а і b . Е. і. зустрічаються в багатьох питаннях теорії спеціальних функцій, до них зводяться багато певних інтегралів, що не виражаються елементарно. Е. і. називається також інтеграл
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969; Артін Е., Введення в теорію гамма-функцій, пер.(переведення) з йому.(німецький), М.— Л., 1934; Уїттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963.
