(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и
(2)
[Э. и. второго рода, или гамма-функция,рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты и факториал n!, ибо, если а и b— натуральные числа, то
, Г (а +1) = а!
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения
В (a, b) = B (b, a), ;
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М.— Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер.(перевод) с англ.(английский), 2 изд., ч. 2, М., 1963.
