Потенціали електромагнітного поля , величини, що характеризують електромагнітне поле. У електростатиці векторне електричне поле можна характеризувати однією скалярною функцією — потенціалом електростатичним . В загальному випадку для опису довільного електромагнітного поля замість двох векторів — магнітною індукції В і напруженості електричного поля Е можна ввести дві ін. величини: векторний потенціал А ( х, в, z, t ) і скалярний потенціал j(x, в, z, t ) (де х, в, z — координати, t — час), при цьому В і Е однозначно виражаються через А і j
В = rot А ,
E = -gradj, (1)
де з — швидкість світла у вакуумі.
Рівняння для потенціалів поля мають простішу форму, ніж початкові Максвелла рівняння, і тому введення П. е. п. спрощує завдання знаходження змінних електромагнітних полів. Істотне спрощення рівнянь для П. е. п. можливо завдяки тому, що потенціали визначаються неоднозначно. Якщо замість А і j вибрати нові потенціали
А'' = А + gradc,
, (2)
де c — довільна функція координат і часу, то вектори В і Е, визначувані рівняннями (1), не зміняться. Інваріантність електромагнітного поля по відношенню до перетворень потенціалів (2) носить назву калібрувальної або градієнтної інваріантності. Калібрувальна інваріантність дозволяє накласти на П. е. п. додаткова умова. Зазвичай такою додатковою умовою є умова Лоренца:
div A +, (3)
де e і m— діелектрична і магнітна проникність середовища. При використанні умови (3) рівняння для П. е. п. в однорідному середовищі (e = const, m = const), отримувані з рівнянь Максвелла, набувають однакової форми:
, (4)
;
тут D—Лапласа оператор, r і j — щільність заряду і струму, а u = — швидкість поширення електромагнітного поля в середовищі. Якщо r = 0 і j = 0, те П. е. п. задовольняють хвилевим рівнянням .
Рівняння (4) дозволяють визначити потенціали А і j по відомому розподілу зарядів і струмів, а отже, за допомогою формул (1) — характеристики електромагнітного поля В і Е. Приватні вирішення рівнянь (4), що задовольняють причинності принципу, називають потенціалами, що запізнюються. Потенціали, що запізнюються, в крапці з координатами х, в, z у момент часу t визначаються щільністю заряду і струму в крапці з координатами х’, в’, z'' в попередній момент часу t = t — R/ u, де
— відстань від джерела поля до точки спостереження.
Якщо заряди і струми розподілені в кінцевої області простору G, те потенціали, що запізнюються, визначаються підсумовуванням (інтеграцією) елементарних потенціалів від зарядів і струмів, зосереджених в нескінченно малих об'ємах dx''dy''dz’, з врахуванням часу запізнювання:
j ( х, в, z, t ) =,
A ( х, в, z, t ) =,
Через П. е. п. виражається функція Гамільтона Н зарядженої частки, рухомої в електромагнітному полі:
, (6)
де p — імпульс частки, e і m — її заряд і маса. Відповідно через П. е. п. виражається оператор Гамільтона (гамільтоніан) в квантовій механіці .
