Періодична функція, функція, значення якої не змінюється при додаванні до аргументу визначеного, нерівного нулю числа, званого періодом функції. Наприклад, sin х і cos x: є П. ф. з періодом 2 p ; { x } — дробова частина числа х — П. ф. з періодом 1; показова функція e x (якщо х — комплексне змінне) — П. ф. з періодом 2 pi і т.п. Оскільки сума і різниця двох періодів є знову період і, отже, будь-яке кратне періоду є також період, то кожна П. ф. має безконечну безліч періодів. Якщо П. ф. має дійсний період, безперервна і відмінна від постійної, то для неї існує найменший позитивний період Т ; всякий інший дійсний період тієї ж функції матиме вигляд kt , де до = ±1, ± 2.... Сума, твір і приватне П. ф. з одним і тим же періодом є П. ф. з тим же періодом. Похідна П. ф. є П. ф. з тим же періодом, проте інтеграл від П. ф. f ( x ) з періодом Т буде П. ф. (з тим же періодом) лише у тому випадку, коли . Фундаментальна теорема теорії П. ф. стверджує, що П. ф. f (x) з періодом Т [підпорядкована ще деяким умовам, наприклад безперервна і така, що має в інтервалі (Про T ) лише кінцеве число максимумів і мінімумів] може бути представлена сумою тригонометричного ряду (ряду Фур'є) вигляду, що сходиться:
Для безперервної П. ф. комплексного змінного можливий випадок, коли існують два періоди T 1 і T 2 , відношення яких немає дійсне число: якщо функція відмінна від постійної, то всякий її період матиме вигляд k 1 T 1 + k 2 T 2 , де k 1 = 0,±1 ±2,... і k 2 = 0 ±1, ± 2.... В цьому випадку П. ф. називається двоякоперіодичною функцією . Розглядаються ще двоякоперіодичні функції другого і третього родів; під ними розуміють функції, які при додаванні періодів до аргументу набувають, відповідно, постійного або показового множника [тобто f ( x + T 1 ) = a 1 f ( x ) і f ( x + T 2 ) = a 2 f ( x ) або f ( x + T 1 ) = і f ( x + T 2 ) -= e а 2 x f ( x ) ].
Сума П. ф. з різними періодами не буде періодичною функцією у разі, коли періоди несумірні [напр., cos х + cos) немає П. ф.]; проте функції такого роду володіють багатьма властивостями, що наближають їх до П. ф.; такі функції є простими прикладами так званих майже періодичних функцій . П. ф. грають надзвичайно велику роль в теорії коливань і взагалі в математичній фізиці.
