Періодичні вирішення рівнянь, рішення, повторюються процеси, що описують правильно. Для теорії коливань, небесної механіки і ін. наук особливий інтерес представляють П. р. системи диференціальних рівнянь
, i = 1..., n (1)
Це такі вирішення y i = j i ( t ), які складаються з періодичних одного і того ж періоду функцій незалежного змінного t , тобто для всіх значень t
j i ( t + t ) = j i ( t )
де t > 0—період рішення. Якщо система (1) стаціонарна, тобто функції f i = F i ( y i .... y n ), де i = 1..., n , явним чином не залежать від t , то в фазовому просторі ( y i ..., y i ) П. р. відповідають замкнуті траєкторії. У окремому випадку ці траєкторії можуть вироджуватися в точки спокою, де, яким відповідають тривіальні (постійні) П. р. Що стосується нетривіальних П. р., то завдання про знаходження їх вирішена лише для диференціальних рівнянь спеціальних типів.
В теорії нелінійних коливань особливе значення має система двох рівнянь
, (2)
фазовим простором якої є плоскість ( х , в ) . Точки спокою системи ( 2 ) знаходяться з системи рівнянь: Р ( х , в ) = 0, Q ( x , в ) = 0. Система ( 2 ) свідомо не допускає нетривіальних П. р., якщо (критерій Бендіксона). Звичайним прийомом виявлення нетривіальних П. р. системи ( 2 ) (якщо вони існують) є побудова такої обмеженої кільцеподібної області K (див. мал. ), що всі траєкторії входять в неї при t ® +¥ або при t ® -¥ ; якщо область До не містить точок спокою системи ( 2 ), то в До обов'язково знайдеться замкнута траєкторія, якою відповідає нетривіальне П. р. (принцип Пумнкаре — Бендіксона). Інший підхід до виявлення П. р. дає вивчення поведінки рішень в околицях особливих крапок; саме, в околиці центру інтегральні криві системи ( 2 ) замкнуті і їм відповідають нетривіальні П. р.
Літ.: Немицкий Ст Ст і Степанов Ст Ст, Якісна теорія диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М.— Л., 1949; Андронов А. А., Вітт А. А., Хайкин С. Е., Теорія коливань, 2 видавництва, М., 1959; Стокер Дж., Нелінійні коливання в механічних і електричних системах, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, М., 1953.
