Майже періодична функція , функція, значення якої при додаванні до аргументу належним чином вибраних постійних чисел (майже періодів) приблизно повторюються. Точніше: безперервна функція f ( x ) , визначена для всіх дійсних значень х, називається майже періодичною, якщо для кожного e > 0 можна вказати таке l = l (e) , що в кожному інтервалі осі х довжини l знайдеться хоч би одне число t = t(e), для якого при будь-якому х виконується нерівність | f ( x + t ) — f ( x )| < e. Числа t називаються майже періодами функції f ( x ). Періодична функції суть окремі випадки П. п. ф.; прості приклади П. п. ф., що немає періодичними, виходять в результаті складання періодичних функцій з несумірними періодами наприклад cosx + cos x.
Деякі найбільш важливі властивості П. п. ф.:
1) П. п. ф. обмежена і рівномірно безперервна на всій осі х.
2) Сума і твір кінцевого числа П. п. ф. є також П. п. ф.
3) Межа послідовності П. п. ф, що рівномірно сходиться. є також П. п. ф.
4) Для кожної П. п. ф. існує середнє значення (на всій осі х ) :
.
5) Кожній П. п. ф. можна зіставити ряд Фур'є:
,
причому l 1 , l 2 ., l n ., може бути будь-якою послідовністю відмінних один від одного дійсних чисел і
.
6) Рівність Парсеваля: для кожної П. п. ф. справедлива рівність:
M {| f ( x )| 2 } = .
7) Теорема єдиності: якщо f ( x ) є безперервна П. п. ф. і якщо для всіх дійсних l
М-кодом { f ( х ) е -i lx } = 0,
те f ( x ) º 0. Інакше кажучи, ряд Фур'є однозначно визначає П. п. ф.
8) Теорема апроксимації: для кожного e > 0 можна вказати такий кінцевий тригонометричний поліном
(m до — дійсні числа), що для всіх значень х виконується нерівність: | f ( x ) — P e ( x )| < e; назад, кожна функція f ( x ) з цією властивістю є П. п. ф.
Перша побудова безперервних П. п. ф. було дано данським математиком Х. Бором (1923). Ще раніше (1893) окремий випадок П. п. ф. — т.з. квазіперіодичні функції — вивчив латвійського математика П. Біль. Нова побудова теорії П. п. ф. дав Н. Н. Боголюбов (1930). Узагальнення теорії П. п. ф. на розривні функції вперше дано Ст Ст Степановим (1925), а потім Р. Вейлем і А. Безіковічем. Узагальнення іншого роду було дане радянським математиком Б. М. Льовітаном (1938).
Літ.: Бор Р., Майже періодичні функції, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1934; Льовітан Би. М., майже-періодичні функції, М., 1953.
