Почти периодическая функция

Почти периодическая функция, функция, значения которой при добавлении к аргументу надлежащим образом выбранных постоянных чисел (почти периодов) приближённо повторяются. Более точно: непрерывная функция f (x), определённая для всех действительных значений х, называется почти периодической, если для каждого e > 0 можно указать такое l = l (e), что в каждом интервале оси х длины l найдётся хотя бы одно число t = t(e), для которого при любом х выполняется неравенство |f (x + t) — f (x)| < e. Числа t называются почти периодами функции f (x). Периодическая функции суть частные случаи П. п. ф.; простейшие примеры П. п. ф., не являющихся периодическими, получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами, например cosx + cosx.

  Некоторые наиболее важные свойства П. п. ф.:

  1) П. п. ф. ограничена и равномерно непрерывна на всей оси х.

  2) Сумма и произведение конечного числа П. п. ф. есть также П. п. ф.

  3) Предел равномерно сходящейся последовательности П. п. ф. есть также П. п. ф.

  4) Для каждой П. п. ф. существует среднее значение (на всей оси х):

.

  5) Каждой П. п. ф. можно сопоставить ряд Фурье:

,

причём l₁, l₂, …, l_n, …, может быть любой последовательностью отличных друг от друга действительных чисел и

.

  6) Равенство Парсеваля: для каждой П. п. ф. справедливо равенство:

M {|f (x)|²} = .

  7) Теорема единственности: если f (x) есть непрерывная П. п. ф. и если для всех действительных l

М {f (х) е^-ilx} = 0,

  то f (x) º 0. Иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет П. п. ф.

  8) Теорема аппроксимации: для каждого e > 0 можно указать такой конечный тригонометрический полином

(m_k — действительные числа), что для всех значений х выполняется неравенство: |f (x) — P_e(x)| < e; обратно, каждая функция f (x) с этим свойством является П. п. ф.

  Первое построение непрерывных П. п. ф. было дано датским математиком Х. Бором (1923). Ещё ранее (1893) частный случай П. п. ф. — т. н. квазипериодические функции — изучил латвийский математик П. Боль. Новое построение теории П. п. ф. дал Н. Н. Боголюбов (1930). Обобщение теории П. п. ф. на разрывные функции впервые дано В. В. Степановым (1925), а потом Г. Вейлем и А. Безиковичем. Обобщение другого рода было дано советским математиком Б. М. Левитаном (1938).

  Лит.: Бор Г., Почти периодические функции, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М. — Л., 1934; Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.