Об'єм , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними тілами. У простих випадках вимірюється числом одиничних кубів, що уміщаються в телі, тобто кубів з ребром, рівним одиниці довжини.
Завдання обчислення О. простих тіл, що йде від практичних потреб, було однією із стимул-реакцій розвитку геометрії. Математика Древнього Сходу (Вавілонія, Єгипет) мала в своєму розпорядженні ряд правив (переважно емпіричних) для обчислення О. тіл, з якими найчастіше доводилося зустрічатися на практиці (наприклад, призматичних брусів, пірамід повних і усічених, циліндрів). Серед формул О. були і неточні, такі, що давали не дуже помітну процентну помилку лише в межах споживаних лінійних розмірів тіла. Грецька математика останніх століть до нашої ери звільнила теорію обчислення О. від наближених емпіричних правил. У «Початках» Евкліда і у вигадуваннях Архімеда є лише точні правила для обчислення О. многогранників і деяких круглих тіл (циліндра, конуса, кулі і їх частин). При цьому вже у вченні про О. многогранників грецької математики повинні були здолати значні труднощі, що істотно відрізняють цей відділ геометрії від родинного йому відділу про площі багатокутників. Джерело відмінності, як з'ясувалося лише на початку 20 ст, полягає в наступному: тоді як всякий багатокутник можна за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин «перекроїти» в квадрат, аналогічне перетворення (за допомогою плоских розрізів) довільного многогранника в куб виявляється, взагалі кажучи, неможливим (теорема Дена, 1901). Звідси стає ясним, чому Евклід вже в разі трикутної піраміди був вимушений вдатися до безконечного процесу послідовних наближень, користуючись при доказі вичерпання методом . Безконечний процес лежить і в основі сучасного трактування виміру О., що зводиться до наступного. Розглядаються всілякі многогранники, вписані в тіло До , і всілякі многогранники, описані довкола тіла До . Обчислення О. многогранника зводиться до обчислення об'ємів складових його тетраедрів (трикутних пірамід). Хай { V i } — числова безліч об'ємів, вписаних в тіло многогранників, а { V d } — числова безліч описаних довкола тіла До многогранників. Безліч { V i } обмежена зверху (об'ємом будь-якого описаного многогранника), а безліч { V d } обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел, безліч { V i }, що обмежує зверху, називається нижнім об'ємом V тіла До ; а найбільше з чисел, безліч, що обмежує знизу { V d }, називається верхнім об'ємом тіла До . Якщо верхній об'єм тіла До збігається з його нижнім об'емом V , то число V = = V називається об'ємом тіла До , а само тіло — кубіруємим тілом. Для того, щоб тіло було кубіруємим, необхідно і досить, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний довкола тіла многогранник і такий вписаний в тіло многогранник, різницю V d — V i об'ємів яких була б менша e.
Аналітично О. може бути виражений за допомогою кратних інтегралів. Хай тіло До ( мал. 1 ) обмежене циліндровою поверхнею з паралельними осі Oz створюючими, квадрованою областю М-коду плоскості Оху і поверхнею z = f (x , в) яку будь-яка паралель до створюючої циліндра пересікає в одній і лише в одній крапці. Об'єм такого тіла може бути обчислений за допомогою подвійного інтеграла
.
О. тіла, обмеженого замкнутою поверхнею, яка зустрічається з паралеллю до осі Oz не більше ніж в двох крапках, може бути обчислений як різниця О. двох тіл, подібних до передування. О. тіла може бути виражений у вигляді потрійного інтеграла
,
де інтеграція поширюється на частину простору, зайняту тілом. Інколи зручно обчислювати О. тіл через його поперечні перетини. Хай тіло ( ріс.2 ), що міститься між плоскістю z = а і z = b ( b > а ), розтинається плоскістю, перпендикулярною осі Oz . Якщо всі перетини тіла квадріруєми і площа перетини S — безперервна функція від z , те О. тіла може бути виражений простим інтегралом
. (1)
Історично відбувалося так, що задовго до створення інтегрального числення операція інтеграції фактично застосовувалася (у різних геометричних формах) до обчислення О. простих тіл (піраміди, кулі, деяких тіл обертання), чим і був підготовлений грунт для оформлення цього числення в 17—18 вв.(століття) Зокрема, формулу (1) містив у зародку т.з. Кавальєрі принцип, що зберігає своє значення для шкільного викладання. У елементарному викладанні корисною виявляється також Сімпсона формула, відповідна тому випадку, коли в (1) функція S (z) є многочленом не вище за 3-у міру.
Про узагальнення поняття «Про.» див.(дивися) в ст. Міра безлічі .
Літ.: Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1—2, М., 1970; Лебег А., Про вимір величин, пер.(переведення) з франц.(французький), 2 видавництва, М., 1960.
