Ньютона біном , назва формули, що виражає будь-яку цілу позитивну міру суми два доданків (бінома, двочлена) через міри цих доданків, а саме:
(1)
(1) де n — ціле позитивне число, а і b — які завгодно числа.
Окремими випадками Н. би. при n = 2 і n = 3 є відомі формули для квадрата і куба суми а і b : ( а + b ) 2 = а 2 + 2ab + b 2 , ( а + b ) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; при n = 4 отримують (а + b ) 4 = a 4 + 4 а 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 і т.д.
Коефіцієнти формули (або розкладання) Н. би. називають біноміальними коефіцієнтами; коефіцієнт при a n-до b до позначається так: або . Останнє позначення пов'язане з комбінаторикою : є число поєднань з n різних між собою елементів, узятих по до . Біноміальні коефіцієнти володіють багатьма чудовими властивостями: всі вони цілі позитивні числа; крайні коефіцієнти дорівнюють одиниці; коефіцієнти членів, рівновіддалених від кінців, однакові; коефіцієнти зростають від країв до середини; сума всіх коефіцієнтів рівна 2 n . Особливо важливе значення має наступна властивість: сума двох сусідніх коефіцієнтів в розкладанні (а + b) n дорівнює певному коефіцієнту в розкладанні (а + b) n+1 ; наприклад суми 1+3, 3+3, 3+1 сусідній коефіцієнт у формулі для (а + b ) 3 дають коефіцієнти 4, 6 і 4 у формулі для (а + b) 4 . Взагалі:
Користуючись цією властивістю, можна, вирушаючи від відомих коефіцієнтів для (а + b ) 1, отримати шляхом складання біноміальні коефіцієнти для будь-якого n . Викладення розташовують у вигляді таблиці (див. Арифметичний трикутник ).
Формула Н. би. для цілих позитивних показників була відома задовго до І. Ньютона ; але їм була вказана (1676) можливість поширення цього розкладання і на випадок дробового або негативного показника (хоча строге обгрунтування це було дано лише Н. Абелем, 1826). У цьому загальнішому випадку формула Н. би. починається так само, як формула (1); коефіцієнтом при a n-до b до служить вираження, яке, в разі цілого позитивного п , перетворюється на нуль при всякому до > п , унаслідок чого формула (1) містить лише кінцеве число членів. У разі ж дробу або негативного n всі біноміальні коефіцієнти відмінні від нуля, і права частина формули містить безконечний ряд членів (біноміальний ряд). Якщо ê b ê < ê а ê, то цей ряд сходиться, т. е., узявши чимале число його членів, можна отримати величину, скільки завгодно близьку до (а + b ) n (див. Ряд ). Формула Н. би. грає важливу роль в багатьох областях математики (алгебрі, теорії чисел і ін.).
