Математичні розваги і ігри . Математичними розвагами називають зазвичай всілякі завдання і вправи цікавого характеру, що вимагають прояву винахідливості, кмітливості, оригінальності мислення, уміння критично оцінити умови або постановку питання: зокрема — головоломки, завдання на перетворення однієї фігури в іншу шляхом розрізання і перекладення частин, фокуси, засновані на обчисленнях, математичні ігри. До математичним іграм відносять або ігри, що мають справу з числами, фігурами і тому подібним, або ігри, результат яких може бути зумовлений попереднім теоретичним аналізом. З появою і розвитком математичних ігор теорії термін «математичні ігри» (у сенсі цієї статті) поступово виходить з вживання.
Гра Баше. З купки, що містить n (наприклад, 35) предметів двоє що грають беруть по черзі не більше ніж по m (наприклад, 5) предметів. Виграє той, хто візьме останні предмети. Теорія гри встановлює, що якщо n не ділиться на m + 1, то початківець гру неодмінно виграє, якщо кожного разу залишатиме партнерові число предметів, кратне m + 1 (у прикладі — кратне 6).
Гра «15». Грає одна людина. На шестнадцатіклеточной дошці розташовані у випадковому порядку 15 перенумерованих шашок. Пересуваючи шашку одну за іншою на вільну клітку з будь-якою з суміжних з нею кліток, потрібно упорядкувати розташування шашок (привести до нормального розташування — положення 1, вказаному на малюнку 1). Теоретичний аналіз гри, відомий з 1879, показує, що завдання може бути вирішена лише в тому випадку, якщо число інверсій (тобто число порушень нормального розташування), утворюваних номерами шашок у вихідному положенні, має ту ж парність, що і номер рядка, в якому є вільна клітка. Щоб встановити число інверсій, треба для кожної шашки підрахувати число попередніх нею шашок з великим номером і скласти всі ці числа; їх сума і дорівнює шуканому числу інверсій. При цьому встановлюється наступна послідовність у вихідному розташуванні шашок: зліва направо уздовж рядків і зверху вниз при переході від одного рядка до інший. Наприклад, в розташуванні II ( мал. 1 ) число інверсій парне (рівне 38), а вільна клітка знаходиться в парному (у 2-ій) рядку, тобто розташування II може бути наведено до нормального. Навпаки, розташування III привести до нормального неможливо, оскільки число інверсій в нім непарно (рівне 1: шашка з № 15 передує шашці з № 14), а вільна клітка знаходиться в 4-му рядку (у рядку з парним номером).
Повне математичне обгрунтування є також в таких М. р. і і., як викреслювання фігур одним розчерком, лабіринти, комбіновані завдання на шахівниці та інші. Велика група М. р. і і. пов'язана з пошуками оригінальних і красивих вирішень завдань, що допускають практично невичерпну або навіть безконечну безліч рішень.
До таких розваг належить, наприклад, «складання паркету» — завдання про заповнення плоскості правильно фігурами одного і того ж вигляду (наприклад, однойменними правильними багатокутниками) або декількох даних видів, що чергуються. Якщо «двобарвний квадратний паркет» з осями симетрії А’ А і B’B (див. мал. 2 ) складається з 4 n 2 рівних квадратів, кожен з яких розбитий діагоналлю на білу і чорну половини, то число різного паркету рівне 4 n 2 (це число швидко зростає при зростанні n ).
Дуже велике, до цих пір точно не встановлене число рішень мають також: завдання Ейлера про шахового коня — обійти ходом коня шахівницю, побувавши на кожній клітці по одному разу, і завдання про складання багатоклітинних магічних квадратів . У подібного роду завданнях цікавляться зазвичай визначенням числа рішень, розробкою методів, що дають відразу великі групи рішень. Математичний вміст ряду інших М. р. і і. — у встановленні найменшого числа операцій, необхідних для досягнення поставленої мети. До таких розваг відносяться: завдання типа «переправ», «розміщень» або ігри, аналогічні грі «ханойська башта», суть якої в підрахунку числа ходів, необхідних для перенесення пластинок із стовпчика А (див. мал. 3 ) на стовпчик З, користуючись стовпчиком В, якщо за один хід можна переносити лише одну пластинку з будь-якого стовпчика на будь-якій іншій, але не можна класти велику пластинку вище меншою.
М. р. і і. користувалися увагою багатьох крупних учених [Леонардо Пізанський (13 вік), Н. Тарталья (16 вік), Дж. Кардано (16 вік), Р. Монж (2-я половина 18 — почало 19 століть), Л. Ейлер (18 вік) та інші]. Збірки М. р. і і. почали з'являтися з 17 століття. Сприяючи підвищенню інтересу що вчаться до математики, розвитку кмітливості, наполегливості і уваги, М. р. і і. застосовуються також і в педагогічному процесі. У Росії це знайшло віддзеркалення вже в «Аріфметіке» Л. Ф. Магніцкого (1703) і навіть у математичних рукописах 17 століть.
Літ.: Ігнатьев Е. І., У царстві кмітливості або арифметики для всіх, 2 видавництва, кн. 1—3, М. — Л., 1924 — 25; Кордемський Би. А., Математична кмітливість, 8 видавництво, М., 1965; Перельман Я. І., Жива математика, 9 видавництво, М., 1970: його ж, Цікава арифметика, 9 видавництво, М., 1959; його ж, Цікава алгебра, 12 видавництво, М., 1970; його ж, Цікава геометрія, 11 видавництво, М., 1959; Шуберт Р., Математичні розваги і ігри, переклад з німецького, Одеса, 1911; Арені Ст, Математичні ігри, переклад з німецького, Л. — М., 1924; Гарднер М., Математичні чудеса і таємниці. Математичні фокуси і головоломки, переклад з англійського, 2 видавництва, М., 1967; його ж, Математичне дозвілля, переклад з англійського, М., 1972.
