Диференціальні рівняння з аргументом, що відхиляється
Диференціальні рівняння з аргументом, що відхиляється, рівняння, що зв'язують аргумент, а також шукану функцію і її похідні, узяті, взагалі кажучи, при різних значеннях цього аргументу (на відміну від звичайних диференціальних рівнянь ). Прикладами можуть служити рівняння
x’'' ( t ) = ах ( t - t) (1)
і
x’'' ( t ) = ах ( kt ), (2)
де постійні а , t, до задані; t = t - ( t - t) в рівнянні (1) і t - kt в рівнянні (2) — відхилення аргументу. Такі рівняння з'явилися в кінці 18 ст Неодноразово розглядалися самі по собі і у зв'язку з вирішенням геометричних завдань, а пізніше — у зв'язку з різними застосуваннями, перш за все до теорії регулювання. Побудова систематичної теорії Д. в. з о. а. було почато в 50-х рр. 20 ст, а вже з 60-х рр. ця теорія є значним відділом математичного аналізу.
найдобріше вивчені лінійні однорідні автономні (тобто з постійними коефіцієнтами і постійними відхиленнями аргументу) Д. в. з о. а.; до таких рівнянь відноситься, наприклад (1). Тут є досить повна система вирішень вигляду х = e рt , причому для відшукання р виходить трансцендентне характеристичне рівняння вигляду Р ( р ) = 0, де Р ( р ) — сума членів вигляду Ap m е a p , m ³ 0 — ціле [наприклад, для (1) маємо Р ( р ) º р - ає - t p ]. Це рівняння має, взагалі кажучи, безконечне число комплексного коріння. Інші вирішення даного Д. в. з о. а. розкладаються в ряди по вказаних простих рішеннях, і тому про основні властивості сукупності рішень, зокрема про їх стійкість, можна судити по розташуванню нулів функції Р ( р ).
Найважливіший і найбільш вивчений клас Д. в. з о. а. утворюють диференціальні рівняння з аргументом, що запізнюється, в яких старша похідна від шуканої функції при якому-небудь значенні аргументу визначається через саму цю функцію і її молодші похідні, узяті при менших або рівніших значеннях аргументу. Приклади: рівняння (1) при t ³ 0 (t—запаздиваніє); рівняння (2) при до £ 1 і t ³ 0. Ці рівняння і їх системи, якщо аргументом служить час, описують процеси з післядією, швидкість яких в будь-якій момент визначається їх станом не лише в той же момент (як для звичайних диференціальних рівнянні), але і в попередні моменти. Така ситуація виникає, зокрема, в системах автоматичного управління за наявності запізнювання в органі управління. Рівняння з аргументом, що запізнюється, багато в чому нагадують звичайні диференціальні рівняння, проте у ряді стосунків відрізняються від них. Наприклад, якщо вирішення рівняння (1) будується при t ³ t 0 , то як початкова умова х ( t ) повинно бути задано при t 0 - t £ t £ t 0 ; рішення можна будувати послідовно на інтервалах t 0 £ t £ t 0 + t, t 0 + t £ t 0 + 2t, користуючись на кожному кроці результатом обчислень з попереднього кроку. У лінійному автономному випадку до таких рівнянь можна застосовувати методи операційного числення .
Літ.: Пінні Е., Звичайні диференціально-різницеві рівняння, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961; Беллман Р., Кук До., Диференціально-різницеві рівняння, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967; Мишкис А. Д., Ельсгольц Л. Е., Стан і проблеми теорії диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється, «Успіхи математичних наук», 1967, т. 22, ст 2 (134) (бібл.); Ельсгольц Л. Е., Норкин С. Би., Введення в теорію диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється, 2 видавництва, М., 1971.
