Диференціальний біном
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Диференціальний біном

Диференціальний біном, біноміальний диференціал, вираження вигляду

  x m ( а + bx n ) p dx ,

загрузка...

де а і b — постійні, відмінні від нуля, m , n і р — раціональні числа. Інтеграл від Д. би.

 

виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції лише в трьох випадках: 1) якщо р — ціле число; 2) якщо ( m + 1) / n — ціле число; 3) якщо [( m + 1)/ n ]+ p — ціле число. Ці три випадки інтегрованості Д. би. були відомі ще Л. Ейлерові . П. Л. Чебишев в 1853 показав, що у всіх останніх випадках інтеграл від Д. би. у кінцевому вигляді через елементарні функції не виражається. Це один з перших випадків, коли питання про інтегрованість в кінцевому вигляді якого-небудь досить загального класу аналітичних виразів було вирішене до кінця. Результат Чебишева може бути поставлений в ряд з класичними теоремами про неможливість вирішення алгебри різних класів рівнянь алгебри і про нерозв'зність за допомогою циркуля і лінійки завдання про квадратурі круга .