Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить уравнения

  x’'(t) = ax (t - t)          (1)

и

  x’'(t) = ax (kt),          (2)

где постоянные а, t, k заданы; t = t - (t - t) в уравнении (1) и t - kt в уравнении (2) — отклонения аргумента. Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.

  Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а.; к таким уравнениям относится, например, (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = e^рt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Ap^m е^ap, m ³ 0 — целое [например, для (1) имеем Р (р) º р - ае^-tp]. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).

  Важнейший и наиболее изученный класс Д. у. с о. а. образуют дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при каком-либо значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: уравнение (1) при t ³ 0 (t—запаздывание); уравнение (2) при k £ 1 и t ³ 0. Эти уравнения и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость которых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных уравнении), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматического управления при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные уравнения, однако в ряде отношений отличаются от них. Например, если решение уравнения (1) строится при t ³ t₀, то в качестве начального условия х (t) должно быть задано при t₀ - t £ t £ t₀; решение можно строить последовательно на интервалах t₀ £ t £ t₀ + t, t₀ + t £ t₀ + 2t, пользуясь на каждом шаге результатом вычислений с предыдущего шага. В линейном автономном случае к таким уравнениям можно применять методы операционного исчисления.

  Лит.: Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1961; Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1967; Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э., Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, «Успехи математических наук», 1967, т. 22, в. 2 (134) (библ.); Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2 изд., М., 1971.

  А. Д. Мышкис.