Функції безлічі, функції, що зіставляють кожній безлічі з деякого класу безлічі певне число. Наприклад, довжина відрізання є Ф. м., визначеною на класі всіх відрізань на прямій (функцією відрізання).
Інтеграл при заданій інтегрованій функції j( x ) також є функцією відрізання — інтервалу інтеграції [а, b]. Розглядають також функції від областей на плоскості або в просторі. Наприклад, при заданому розподілі щільності маса, увязнена в даної області W, є функцією цієї області. Поняття функції області — гнучкіший апарат для опису фізичних явищ, чим поняття функції крапки, т.к. позволяєт враховувати випадки, коли щільність фізичних величин в окремих крапках безконечна (точкові джерела і т.д.). Крім того, це поняття більш відповідає умовам фізичного експерименту (при якому спостерігається не функція крапки а середнє від цієї функції по деякої малої області).
Поняття Ф. м. отримав розвиток у зв'язку з побудовою теорії інтеграла Лебега, в якій доводиться розглядати не лише функції від областей, але і функції від довільної вимірної безлічі. Одним з перших прикладів такої Ф. м. є міра Лебега m( Е ) вимірної безлічі Е (див. Міра безлічі ). Ета Ф. м. сповна аддитивна, тобто міра суми будь-якої кінцевої або рахункової сукупності вимірної безлічі, що не перетинається, є сума заходів цієї безлічі. Поряд з лебеговськой мірою безлічі розглядають ін. заходи, що є ненегативними сповна аддитивними Ф. м., визначеними на відповідному класі безлічі. Такі Ф. м. зустрічаються в загальній теорії інтеграла. Ф. м. f ( E ) називають абсолютно безперервною відносно деякої міри m, якщо f ( E ) = 0 при m( Е )= 0. Так, інтеграл Лебега заданій підсумовуваній функції j( x ) по безлічі М-коду є сповна аддитивною абсолютно безперервною (відносно міри Лебега) функцією від М-коду . Назад, всяка сповна аддитивна абсолютно безперервна Ф. м. може бути представлена як інтеграл Лебега від деякої підсумовуваної функції j( x ). Важливим прикладом Ф. м. є розподіли вірогідності.
Літ.: Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 4 видавництва, М., 1976; Халмош П., Теорія міри, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1953
