Середні, середні значення, числова характеристика групи чисел або функцій.
1) Середнім для даної групи чисел x 1 , x 2 ..... x n називається будь-яке число, поміщене між найменшим і найбільшим з них. Найбільш споживаними С. є: арифметичне середнє
Якщо всі числа x i ( i = l,2..., n) позитивні, то можна для будь-якого а ¹ 0 визначити статечне С.
окремими випадками якого є арифметичне, гармонійне і квадратичне С., саме: s ( а дорівнює а , h і q відповідно при а = 1 —1 і 2. При а ® 0 статечне З, s а прагне до геометричного С., так що можна рахувати s 0 = g . Важливу роль грає нерівність s а £ s b , якщо а £ b, зокрема
h £ g £ а £ q .
Арифметичне і квадратичне С. знаходять багаточисельні вживання в теорії вірогідності, математичній статистиці при обчисленні за методом найменших квадратів і ін. Вказані вище С. можуть бути отримані з формули
,
де f -1 (h) — функція, зворотна до f (x) (див. Зворотна функція ), при відповідному підборі функції f (x). Так, арифметичне С. виходить, якщо f (x) = x, геометричне С., — якщо f (x) = log x, гармонійне С., — якщо f (x) = 1/x, квадратичне С., — якщо f (x) = x 2 .
Поряд із статечними С. розглядають зважені статечні С.
зокрема при а = 1,
,
які переходять в звичайних статечних С. при р 1 = р 2 =... = p n . Зважені С. особливо важливі при математичній обробці результатів спостережень (див. Спостережень обробка ), коли різні спостереження виробляються з різною точністю (з різною вагою).
2) Аріфметіко-геометрічне середнє. Для пари позитивних чисел а і b складаються арифметичне С. a 1 і геометричне С. g 1 . Потім для пари a 1 , g 1 знову знаходяться арифметичне С. а 2 і геометричне С. g 2 і т.д. Загальна межа послідовностей a n і g b , існування якого було доведене До. Гаусом, називається аріфметіко-геометрічнім С. чисел а і b ; він важливий в теорії еліптичних функцій.
3) Середнім значенням функції називається будь-яке число, поміщене між найменшим і найбільшим її значеннями. У диференціальному і інтегральному численні є ряд «теорем про середній», що встановлюють існування таких крапок, в яких функція або її похідна отримує те або інше середнє значення. Найбільш важливою теоремою о С. у диференціальному численні є теорема Лагранжа (теорема про кінцевий приріст): якщо f ( x ) безперервна на відрізку [ а, b ] і діфференцируєма в інтервалі (а, b), то існує точка з , що належить інтервалу (а, b), така, що f ( b ) — f ( а ) = ( b—a ) f’ (c). У інтегральному численні найбільш важливою теоремою о С. є наступна: якщо f ( x ) безперервна на відрізку [ а, b ], а j( x ) зберігає постійний знак, то існує точка з з інтервалу ( а, b ) така, що
.
Зокрема, якщо j( x )= 1, то
.
Внаслідок цього під середнім значенням функції f ( x ) на відрізку [ а, b ] зазвичай розуміють величину
.
Аналогічно визначають середнє значення функції декілька змінних в деякій області.
