Рівновеликі і равносоставленниє фігури. Рівновеликі фігури — плоскі (просторові) фігури однакової площі (об'єму); равносоставленниє фігури — фігури, які можна розрізати на однакове число відповідно конгруентних (рівних) частин. Звичайне поняття равносоставленності застосовується лише до багатокутників і многогранників. Равносоставленниє фігури є рівновеликими. Угорський математик Я. Больяй (1832) і німецький математик П. Гервін (1833) довели, що рівновеликі багатокутники є равносоставленнимі (теорема Больяй — Гервіна). Тому розрізанням на частини і перекладанням їх можна будь-який багатокутник перетворити на рівновеликий йому квадрат. Поняття равносоставленності лежить в основі «методу розбиття», вживаного для обчислення площ багатокутників: паралелограм «розрізанням і перекладанням» зводять до прямокутника, трикутник — до паралелограма, трапецію — до трикутника. Еквівалентним поняттю равносоставленності є поняття равнодополняємості, яке лежить в основі «методу доповнення», тобто доповнення двох фігур рівними частинами так, щоб фігури, що вийшли після такого доповнення, були рівні.
Рівновеликі многогранники не завжди є равносоставленнимі. (Тому при виводах формули об'єму трикутної піраміди використовують вичерпання метод або інша завуальована інтеграція, наприклад Кавальєрі принцип . Див. також Об'єм . ) Так, наприклад, куб і рівновеликий йому правильний тетраедр не є равносоставленнимі — т.з. теорема Дена, доведена німецьким математиком М. Деном (1901) і що склала негативне вирішення третьої проблеми Гільберта. Для доказу Ден побудував деяку систему аддитивних інваріантів, рівність яких необхідна для равносоставленності многогранників, і переконався, що серед його інваріантів є такі, які набувають різних значень для куба і рівновеликого йому правильного тетраедра. Ці роботи були продовжені швейцарським математиком Х. Хадвігером і його учнями; зокрема, Ж. П. Зідлер встановив, що збіг інваріантів Дена двох многогранників не лише необхідно, але і досить для їх равносоставленності.
Літ.: Проблеми Гільберта. Сб., М., 1969; Болтянський Ст Р., Рівновеликі і равносоставленниє фігури, М., 1956; Енциклопедія елементарної математики, книга 5, М., 1966.
