Розкладання на множники
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Розкладання на множники

вакансии в Киеве

Розкладання на множники многочлена, представлення його у вигляді твору два або більшого числа многочленів нижчих мір, наприклад: х 2 1 = ( х — 1)( х + 1), х 2 ( а + b ) x + ab = ( x — а )( x — b ), x 4 — а 4 = ( x — а )( x + а )( x 2 + а 2 ). Прості прийоми Р. на м.: винесення загального множника за дужку: х 4 + а 2 x 2 = x 2 ( x 2 + а 2 ), х ( х — а ) — b ( x — а ) = ( x — а )( x — b ); вживання готових (що запам'ятовуються напам'ять) формул: x 2 а 2 = ( х — а )( x + а ), x 3 — а 3 = ( х — а )( х 2 + ах + а 2 ), x 2 + 2 ах + а 2 = ( х + а ) 2 , x 3 + 3 ах 2 + 3 а 2 x + а 3 = ( х + а ) 3 , спосіб угрупування, наприклад х 3 + ах 2 + а 2 x + а 3 = ( х 3 + ах 2 ) + ( а 2 x + а 3 ) = x 2 ( x + а ) + а 2 ( x + а ) = ( х + а )( а 2 + х 2 ); x 4 + а 4 = ( х 4 +2 а 2 х 2 + а 4 ) 2 а 2 x 2 = ( x 2 + а 2 ) 2 ( ах ) 2 = ( х 2 — ах + а 2 )( x 2 + ах + а 2 ), і т.п. Якщо многочлен міри n р ( х ) = а 0 + а 1 x + а 2 x 2 + ... + а n x n ( а n ¹ 0) має коріння x 1 , x 2 , ..., x n , то справедливо Р. на м.: р ( х ) = а n ( х — х 1 )...( х — xn ); тут всі множники 1-ої міри (лінійні). Наприклад, з того, що многочлен 3-ої міри х 3 6 х 2 + 11 x — 6 має коріння x 1  = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, витікає Р. на м.: х 3 6 х 2 + 11 x — 6 = ( x — 1)( x — 2)( х — 3). Взагалі, кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на множники 1-ої або 2-ій мірі також з дійсними коефіцієнтами. Так, вище було вказано розкладання: x 4 + а 4 = ( x 2 — ах + а 2 )( x 2 + ах + а 2 ). Тут всі множники 2-ої міри; при а дійсному і нерівному нулю вони можуть бути розкладені лише на множники з комплексними коефіцієнтами, наприклад

загрузка...

x 2 + ах + а 2 = .

  Серед многочленів від двох або більшого числа змінних існують многочлени скільки завгодно високій мірі, які взагалі не розкладаються на множники (многочлени, що не приводяться); такий, наприклад, многочлен x n + в при будь-якому натуральному n. Див. Многочлен, Многочлен, що не приводиться .

 

  Літ.: Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 10 видавництво, М., 1971.

  А. І. Маркушевіч.