Математична модель , наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки. М. м. — потужний метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і управління. Аналіз М. м. дозволяє проникнути в суть явищ, що вивчаються. Процес математичного моделювання, тобто вивчення явища за допомогою М. м., можна підрозділити на 4 етапи.
Перший етап — формулювання законів, що зв'язують основні об'єкти моделі. Цей етап вимагає широкого знання фактів, що відносяться до явищ, що вивчаються, і глибокого проникнення в їх взаємозв'язку. Ця стадія завершується записом в математичних термінах сформульованих якостей, уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.
Другий етап — дослідження математичних завдань, до яких приводять М. м. Основним питанням тут є рішення прямої задачі, тобто здобуття в результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних следствій) для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень явищ, що вивчаються. На цьому етапі важливої ролі набувають математичний апарат, необхідний для аналізу М. м., і обчислювальна техніка — потужний засіб для здобуття кількостей, вихідної інформації як результату вирішення складних математичних завдань. Часто математичні завдання, що виникають на основі М. м. різних явищ, бувають однаковими (наприклад, основне завдання лінійного програмування відображає ситуації різної природи). Це дає підставу розглядати такі типові математичні завдання як самостійний об'єкт, абстрагуючись від явищ, що вивчаються.
Третій етап — з'ясування того, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерію практики, тобто з'ясування питання про те, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними следствіямі моделі в межах точності спостережень. Якщо модель була сповна визначена — всі параметри її були задані, — те визначення ухилень теоретичних следствій від спостережень дає рішення прямої задачі з подальшою оцінкою ухилень. Якщо ухилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнята. Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються не визначеними. Завдання, в яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) так, щоб вихідна інформація була порівнянна в межах точності спостережень з результатами спостережень явищ, що вивчалися, називаються зворотними завданнями. Якщо М. м. така, що ні при якому виборі характеристик цим умовам не можна задовольнити, то модель непридатна для дослідження тих, що розглядаються явищ. Вживання критерію практики до оцінки М. м. дозволяє робити вивід про правильність положень, лежачих в основі що підлягає вивченню (гіпотетичною) моделі. Цей метод є єдиним методом вивчення недоступних нам безпосередньо явищ макро- і мікросвіту.
Четвертий етап — подальший аналіз моделі у зв'язку з накопиченням даних про явища, що вивчаються, і модернізація моделі. В процесі розвитку науки і техніки дані про явищах, що вивчаються, все більш і більш уточнюються і настає момент, коли виводи, що отримуються на підставі тієї, що існує М. м., не відповідають нашим знанням про явище. Т. о., виникає необхідність побудови новою, досконалішою М. м.
Типовим прикладом, що ілюструє характерні етапи в побудові М. м., є модель Сонячної системи. Спостереження зоряного піднебіння почалися в глибокій старовині. Первинний аналіз цих спостережень дозволив виділити планети зі всього різноманіття небесних світил. Таким чином, першим кроком було виділення об'єктів вивчення. Другим кроком з'явилося визначення закономірностей їх рухів. (Взагалі визначення об'єктів і їх взаємозв'язків є вихідними положеннями — «аксіомами» — гіпотетичній моделі.) Моделі Сонячної системи в процесі свого розвитку пройшли через ряд послідовних удосконалень. Першою була модель Птолемея (2 вік н.е.(наша ера)), що виходила з положення, що планети і Сонце здійснюють рухи довкола Землі (геоцентрична модель), і що описувала ці рухи за допомогою правил (формул), спостережень, що багато разів ускладнювалися після накопичення.
Розвиток мореплавання поставив перед астрономією нові вимоги до точності спостережень. Н. Коперником у 1543 була запропонована принципово нова основа законів руху планет, що вважала, що планети обертаються довкола Сонця по колах (геліоцентрична система). Це була якісно нова (але не математична) модель Сонячної системи. Проте не існувало параметрів системи (радіусів кіл і кутових швидкостей руху), кількостей, що приводять, виводи теорії в належну відповідність із спостереженнями, так що Коперник був вимушений вводити поправки в рухи планет по колах (епіцикли).
Наступним кроком в розвитку моделі Сонячної системи були дослідження І. Кеплера (почало 17 століть), який сформулював закони руху планет. Положення Коперника і Кеплера давали кінематичний опис руху кожної планети відособлено, не зачіпаючи ще причин, що обумовлюють ці рухи.
Принципово новим кроком були роботи І. Ньютона, що запропонував в 2-ій половині 17 століть динамічну модель Сонячної системи, засновану на законі усесвітнього тяжіння. Динамічна модель узгоджується з кінематичною моделлю, запропонованою Кеплером, оскільки з динамічної системи двох тіл «Сонце — планета» слідують закони Кеплера.
До 40-м-коду рокам 19 століть виводи динамічної моделі об'єктами якої були видимі планети, увійшли до протиріччя з накопиченими на той час спостереженнями. Саме, спостережуваний рух Урану ухилявся від теоретично обчислюваного руху. В. Льоверье в 1846 розширив систему спостережуваних планет новою гіпотетичною планетою, названою їм нептуном, і, користуючись новою моделлю Сонячної системи, визначив масу і закон руху нової планети так, що в новій системі протиріччя в русі Урану було знято. Планета нептун була відкрита в місці, вказаному Льоверье. Аналогічним методом, використовуючи розбіжності в теоретичній і спостережуваній траєкторії нептуна, в 1930 була відкрита планета Плутон.
Метод математичного моделювання, що зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних завдань, займає провідне місце серед інших методів дослідження, особливо у зв'язку з появою ЕОМ(електронна обчислювальна машина). Він дозволяє проектувати нові технічні засоби, що працюють в оптимальних режимах, для вирішення складних завдань науки і техніки; проектувати нові явища. М. м. проявили себе як важливий засіб управління. Вони застосовуються в самих різних областях знання, стали необхідним апаратом в області економічного планерування і є важливим елементом автоматизованих систем управління.
