Малі вибірки , статистичні вибірки настільки малого об'єму n , що до них не можна застосувати прості класичні формули, що діють лише асимптотика при n ® ¥. Особливості статистичної оцінки параметрів по М. ст найлегше зрозуміти на прикладі нормального розподілу (для якого малими зазвичай вважають вибірки об'єму n £ 30). Хай необхідно оцінити невідоме середнє значення а вибірки x 1 , x 2 ..., x n з нормальної сукупності з невідомою дисперсією s 2 . Позначимо
,
.
Вихідним пунктом при оцінці а служить та обставина, що розподіл вірогідності величини
не залежить від а і s.
Вірогідність w нерівності — t w < t < t w і рівносильної йому нерівності
(1)
обчислюється при цьому за формулою
w = (2)
де s ( t , n — 1) є щільність вірогідності для так званого Стьюдента розподілу з n — 1 мірами свободи. Визначаючи для заданих n і w (0 < w < 1) відповідне t w (що можна зробити, наприклад, по таблицях), отримують правило (1) знаходження довірчих кордонів для величини а , що має значущості рівень w.
При великих n формула (2), зв'язуюча w і t w , приблизно може бути замінена формулою
(3)
Цю формулу інколи неправильно застосовують для визначення t w при невеликих n , що приводить до грубих помилок. Так, для w = 0,99 по формулі (3) знаходимо t 0,99 = 2,58; дійсні значення t 0,99 для малих n приведені в наступній таблиці:
n
2
3
4
5
10
20
30
t 0,99
63,66
9,92
5,84
4,60
3,25
2,86
2,76
Якщо користуватися формулою (3) при n = 5, то вийде вивід, що нерівність
виконується з вірогідністю 0,99. Насправді в разі п'яти спостережень вірогідність цієї нерівності рівна лише 0,94, а вірогідністю 0,99 володіє відповідно до приведеної таблиці нерівність
Про оцінку по М. ст теоретичної дисперсії s 2 див.(дивися) «Хі-квадрат» розподіл . Розроблені також аналогічні методи оцінки по М. ст параметрів багатовимірних розподілі (наприклад коефіцієнта кореляції).
Літ.: Крамер Г., Математичні методи статистики, переклад з англійського, М., 1948; Колмогоров А. Н., Визначення центру розсіювання і міри точності по обмеженому числу спостережень, «Вісті АН(Академія наук) СРСР. Серія математична», 1942, т. 6 № 1—2; Большев Л. Н., Смирнов Н. Ст, Таблиці математичної статистики, М., 1965.
