Максимальної правдоподібності метод
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Максимальної правдоподібності метод

Максимальної правдоподібності метод, метод знаходження статистичних оцінок невідомих параметрів розподілу; згідно М. п. м., як оцінки вибираються ті значення параметрів, при яких дані результати спостережень «найбільш вірогідні». Передбачається, що результати спостережень X 1 ..., X n є взаємно незалежними випадковими величинами з одним і тим же розподілом вірогідності, залежним від одного невідомого параметра q Î Q, де Q — безліч допустимих значень q. Для додання точного сенсу принципу «найбільшої вірогідності» поступають таким чином. Вводять функцію

загрузка...

   ,

де p ( t ; q) в разі безперервного розподіли інтерпретується як щільність вірогідності випадкової величини X , а в дискретному випадку — як вірогідність того, що випадкова велічина Х набуде значення t . Функцію L ( X 1 . . ., Xn; q) від випадкових величин X 1 . . ., X n називають функцією правдоподібності, а оцінкою максимальної правдоподібності параметра q називають таке значення ( X 1 . . ., X n ) (що само є випадковою величиною), при якому функція правдоподібності досягає найбільшого можливого значення. Оскільки точка максимуму для log L та ж, що і для L , то для знаходження оцінок максимальної правдоподібності слід вирішити так зване рівняння правдоподібності

  .

  М. п. м. не завжди приводить до прийнятних результатів, проте в досить широкому крузі практично важливих випадків цей метод є у відомому сенсі найкращим. Так, наприклад, можна стверджувати, що якщо для параметра q існує незміщена ефективна оцінка q* по вибірці об'єму n , то рівняння правдоподібності має єдності, рішення . Що стосується асимптотичної поведінки оцінок максимальної правдоподібності при великих n , то відомо, що за деяких загальних умов М. п. м. приводить до спроможної оцінки, яка асимптотика нормальна і асимптотика ефективна. Дані вище за визначення безпосередньо узагальнюються і на випадок декількох невідомих параметрів і на випадок вибірок з багатовимірних розподілів. М. п. м. в його сучасному вигляді був запропонований англійським статистиком Р. Фішером (1912), проте в приватних формах метод використовувався До. Гаусом, а ще раніше, в 18 столітті, до його ідеї були близькі І. Ламберт і Д. Бернуллі . Слід додати, що назва «М-код. п. м.» є калькою з англійського «maximum likelihood method».

  Літ.: Крамер Г., Математичні методи статистики, переклад з англійського, М., 1948; Рао С. Р., Лінійні статистичні методи і їх вживання, переклад з англійського, М., 1968; Худсон Д., Статистика для фізиків переклад з англійського, М., 1970.

  А. Ст Прохоров.