Зв'язані функції, функції u ( х, в ) , u ( x, в ) два змінних х і в, зв'язані в деякій області D умовами Коші — Рімана (див. Коши—Рімана рівняння ) ;
; .
За певних умов, наприклад при безперервності приватних похідних першого порядку, С. ф. u і u є відповідно дійсною і уявною частиною деякої аналітичної функції f ( x + iy ) . Вони задовольняють в області D рівнянню Лапласа
,
тобто є гармонійними функціями . Завданням функції, гармонійній в одинзв'язної області D [напр., u ( х, в )] однозначно (з точністю до постійного доданку) визначається зв'язана з нею гармонійна функція u( x, в ) , а тим самим і аналітична функція f ( x + iy ) . Наприклад, якщо
[j = arg ( х + iy )]
— гармонійна функція в деякому крузі , те С. ф.
і
Значення С. ф. на крузі r = 1 є періодичними функціями аргументу j. Вони розкладаються в тригонометричні ряди вигляду
