Замкнута безліч (математичні), точкова безліч на прямій, в плоскості або в просторі, що містять всі свої дотики точки . При цьому точкою дотику безлічі Е називається така крапка (що не обов'язково належить Е ), що в будь-якій її околиці є принаймні одна крапка з Е. Прикладом З. м. може служити геометрична фігура (круг, квадрат і т.д.), що розглядається разом зі своїми граничними крапками. Об'єднання кінцевого числа і пересічення будь-якого числа З. м. знову буде З. м. Доповнення будь-якого З. м. є відкритим безліччю і навпаки. Поряд з відкритою безліччю З. м. є простими типами точкової безлічі і грають важливу роль в теорії функцій і, зокрема, в теорії міри (див. Заходи теорія ). Серед З. м. особливо виділяються завдяки своїм чудовим властивостям досконалі безлічі а, тобто З. м., що не мають ізольованих крапок (див., наприклад, Кантора безліч ).
Визначення З. м. зберігається також для безлічі в довільних метричних і топологічних просторах. При цьому для безлічі в метричних просторах воно рівносильне тому, що З. м. це безліч, що містить всі свої граничні точки .
Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л., 1948; Рудін В., Основи математичного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
