Довжина
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Довжина

Довжина, числова характеристика протяжності ліній. У різних випадках поняття Д. визначається різно. 1) Д. відрізання прямої — відстань між його кінцями, виміряна яким-небудь відрізком, прийнятим за одиницю Д. 2) Д. ламаною — сума Д. її ланок. 3) Д. простій дуги — межа Д. вписаних в цю дугу ламаних, коли число ланок необмежено збільшується і максимальна Д. ланок прагне до нуля. 4) Д. безперервною кривою, що складається з кінцевого числа простих дуг, дорівнює сумі Д. цих дуг. Наприклад, Д. колу може бути отримана як межа периметрів правильних вписаних багатокутників при необмеженому подвоєнні числа їх сторін і рівна 2p R , де R — радіус кола. Всяка безперервна крива має Д. — кінцеву або безконечну. Якщо її Д. кінцева, то крива називається такою, що випрямляється. Графік функції (см. мал.(малюнок) )

загрузка...

 

дає приклад кривої, що не випрямляється; тут Д. вписаних ламаних необмежено зростають, коли Д. ланок прагнуть до нуля. Якщо рівняння плоскої кривої в прямокутних координатах має вигляд в = f ( x ) ( а £ x £ b ), причому функція f ( x ) має безперервну похідну f ¢ ( x ), то Д. кривою виражається інтегралом

 

Аналогічно виражається Д. кривою, заданою параметрично, і Д. просторовою кривою.

  До обчислення Д. кривій за допомогою граничного переходу з Д. ламаних прибігали по суті ще математики старовини. Для них, проте, цей граничний перехід був лише способом обчислення Д. кривої, а не визначення поняття Д. кривій, т.к. последнєє їм представлялося, мабуть, одним з первинних математичних понять. Необхідність визначення Д. кривою стала ясній лише в 1-ій половині 19 ст Повне з'ясування питання було досягнуте До. Жорданом . У диференціальній геометрії визначається також Д. кривій на поверхні або в довільному рімановом просторі. Про одиниці і техніка виміру Д. див.(дивися) Міри довжини, Вимір .

  Літ.: Лебег А., Про вимір величин, пер.(переведення) з франц.(французький), 2 видавництва, М., 1960; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969.

  С. Би. Стечкин.

Мал. до ст. Довжина.