дзета-функція, 1) аналітична функція комплексного змінного s = s + it , визначувана при s > 1 формулою
Цю функцію для дійсних s ввів в математичний аналіз Л. Ейлер (1737), а для комплексних s вперше вивчав німецький математик Би. Ріман (1859), тому її часто називають дзетою-функцією Рімана. Після праць Л. Ейлера (1748, 1749), П. Л. Чебишева (1848) і Б. Рімана з'ясувалася глибокий зв'язок між властивостями Д.-ф. і властивостями простих чисел.
Ейлер обчислив значення x (2 s ) для будь-якого натурального s . Зокрема
Далі він вивів тотожність (тотожність Ейлера)
де твір поширюється на всі прості числа р = 2, 3, 5...
Первинне значення для теорії простих чисел має розподіл нулів Д.-ф. Відомо, що Д.-ф. має нулі в точках s = —2 n , де n = 1, 2 ... (ці нулі прийнято називати тривіальними) і що всі останні (так звані нетривіальні) нулі Д.-ф. знаходяться в смузі 0 < s < 1, званою критичною смугою. Ріман висловив припущення, що всі нетривіальні нулі Д.-ф. розташовані на прямій s = 1 / 2 . Ця гіпотеза Рімана до цих пір не доведена і не спростована. Важливі результати про розподіл нулів Д.-ф. отримані за допомогою створеного радянським математиком І. М. Віноградовим нового методу в аналітичній теорії чисел.
Літ.: Ейлер Л., Введення в аналіз безконечних, пер.(переведення) з латін., 2 видавництва, т. 1, М., 1961; Уїттекер Е. Т., Ватсон Дж. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963; Тітчмарш Е. До., Дзета-функція Рімана, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1947; Інгам А. Е., Розподіл простих чисел, пер.(переведення) з англ.(англійський), М. — Л., 1936; Янке Е., Емде Ф., Таблиці функцій з формулами і кривими, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1948; Прахар До., Розподіл простих чисел, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1967.
