Гільбертове простір , математичне поняття, узагальнювальне поняття евклідова простори на безконечномірний випадок. Виникло на рубежі 19 і 20 вв.(століття) у вигляді природного логічного виводу з робіт йому.(німецький) математика Гильберта в результаті узагальнення фактів і методів, що відносяться до розкладань функцій в ортогональні ряди і до дослідження інтегральних рівнянь. Поступово розвиваючись, поняття «Г. п.» знаходило усе більш широкі застосування в різних розділах математики і теоретичної фізики; воно належить до найважливіших понятті математики.
Спочатку Р. п. розумілося як простір послідовностей з рядом квадратів, що сходиться (т.з. простір l 2 ). Елементами (векторами) такого простору є безконечні числові послідовності
x = (x 1 , x 2 ..., x n ...)
такі, що ряд x 2 1 + x 2 2 +... + х 2 n + ... сходиться. Суму двох векторів х + в і вектора lx , де l — дійсне число, визначають природним чином:
x + в = (x 1 + y 1 ..., x n + y n ...),
lx = (lx 1 , lx 2 ..., lx n ...)/
Для будь-яких векторів х, в Î l 2 формула
(x, в) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... +x n y n + ...
визначає їх скалярний твір, а під довжиною (нормою) вектора х розуміється ненегативне число
Скалярний твір завжди звичайно і задовольняє нерівності |(х, в)| £ ||x|| ||y|| . Послідовність векторів х n називається такою, що сходиться до вектора х , якщо ||х n —х|| ® 0 при n ® ¥ . Багато визначень і факти теорії скінченномірних евклідових просторів переносяться і на Р. п. Наприклад, формула
де 0 £ j £ p визначає кут j між векторами х і в . Два вектори х і в називаються ортогональними, якщо ( х, в ) = 0. Простір l 2 повно: всяка фундаментальна послідовність Коші елементів цього простору (тобто послідовність х n , що задовольняє умові ||х п —х m ||® 0 при n, m ® ¥ ) має межу. На відміну від евклідових просторів, Р. п. l 2 безконечномірний, тобто в нім існують безконечні системи лінійно незалежних векторів; наприклад, таку систему утворюють одиничні вектори
e 1 = (1, 0, 0...), e 2 = (0, 1, 0...),...
При цьому для будь-якого вектора x з l 2 має місце розкладання
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... (1)
по системі { e n }.
Іншим важливим прикладом Р. п. служить простір l 2 всіх вимірних функцій, заданих на деякому відрізку [ а, b ], для яких кінцевий інтеграл
що розуміється як інтеграл в сенсі Лебега. При цьому функції, що відрізняються один від одного лише на безліч міри нуль, вважаються тотожними. Складання функцій і множення їх на число визначається звичайним способом, а під скалярним твором розуміється інтеграл
Норма в цьому випадку рівна
Роль одиничних векторів попереднього прикладу тут можуть грати будь-які функції j i (x) з L 2 , що володіють властивостями ортогональності
і нормірованності
а також наступною властивістю замкнутості: якщо f(x) належить L 2 і
те f(x) = 0 усюди, окрім безлічі міри нуль. На відрізку [0,2 p ] як така система функцій можна узяти тригонометричну систему
Розкладанню (1) відповідає розкладання функції f(x) з L 2 в ряд Фур'є
що сходиться до f(x) по нормі простору L 2 . При цьому для всякої функції f(x) виконується рівність Парсеваля
Відповідність між функціями f(x) з L 2 і послідовностями їх коефіцієнтів Фурье a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ... є взаємно однозначним відображенням L 2 на l 2 , що зберігає операції складання, множення на числа, а також що зберігає довжини і скалярні твори. Т. о., ці простори ізоморфни і ізометрічни, означає мають однакову будову.
В ширшому сенсі під Р. п. розуміють довільне лінійний простір, в якому заданий скалярний твір і яке є повним відносно норми, що породжується цим скалярним твором. У залежності від того, чи визначено для елементів Р. п. Н множення лише на дійсні числа або ж елементи з Н можна умножати на довільні комплексні числа, розрізняють дійсне і комплексне Р. п. У останньому випадку під скалярним твором розуміють комплексну функцію ( х, в ), визначену для будь-якої пари х, в елементів з Н і що володіє наступними властивостями:
1) ( х, х ) = 0 в тому і лише тому випадку, якщо х = 0,
2) ( х, х ) ³ 0 для будь-якого x з Н ,
3) ( х + в, z ) = ( x, z ) + ( в, z ),
4) (lx, в ) = l(x, в) для будь-якого комплексного числа l ,
5)
де межа означає комплексно зв'язану величину. Норма елементу х визначається рівністю
Комплексні Р. п. грають в математиці і в її застосуваннях значно велику роль, чим дійсні Р. п. Одним з найважливіших напрямів теорії Р. п. є вивчення лінійних операторів в Р. п. (див. Операторів теорія ). Саме з цим довкола питань зв'язані багаточисельні вживання Р. п. в теорії диференціальних і інтегральних рівнянь, теорії вірогідності, квантовій механіці і так далі
Літ.: Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1968; Люстерник Л. А., Собольов Ст І., Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Лінійні оператори, т. 1 — Загальна теорія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962; Дей М. М., Нормовані лінійні простори, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961.
