число Алгебри, число а, що задовольняє рівнянню алгебри a 1 a n + ... + акa +a n+1 = 0, де n ³ 1, a 1 ..., a n , a n+1 — цілі (раціональні) числа. Число а називається цілим А. ч., якщо a 1 = 1. Якщо многочлен f(x)= a 1 x n + ... + a n x + a n+1 не є твором двох ін. многочленів позитивної міри з раціональними коефіцієнтом, те число n називається мірою А. ч. а. Прості А.ч. — коріння двочленного рівняння x n = а, де а — раціональне число. Наприклад, А. ч. будуть раціональні числа, числа
цілими А. ч. будуть цілі числа, числа
З поняттям А. ч. тісно зв'язано два великі напрями в теорії чисел. 1) Арифметика А. ч. (теорія алгебри чисел), створена Е. Куммером в середині 19 ст, вивчає властивості А. ч. Цілі А. ч. володіють рядом властивостей, аналогічних властивостям цілих раціональних чисел, проте теорема про єдиність розкладання числа на прості множники не має місця в теорії цілих А. ч. Для збереження єдиності розкладання Куммер ввів в розгляд т.з. «ідеальні» числа (див. Ідеал ) . 2) Теорія наближення А. ч. вивчає міру наближення А. ч. раціональними числами або числами алгебри ж. Першим результатом в цьому напрямі була теорема Ж. Ліувіля, що показує, що А. ч. «погано» наближаються раціональними числами, точніше: якщо а - А. ч. міри n, те при будь-яких цілих раціональних р і q має місце нерівність [а - p/q] > C/q n , де З = З(a)> 0 — постійна, не залежна від р і q, звідси витікає, що легко побудувати довільну кількість неалгебри — трансцендентних чисел .
Літ.: Гекке Е., Лекції з теорії чисел алгебри, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентні і алгебра числа, М., 1952; Боревіч З. І., Шафаревіч І. P., Теорія чисел, М., 1964.
