Фігури рівноваги, геометричної конфігурації, які може прийняти рідка маса, знаходячись в положенні відносної рівноваги (під відносною рівновагою зазвичай розуміють сталий рух рідини, при якому вся маса рідини рухається таким чином, що відстані між її частками залишаються постійними). Розглядають рух рідини або лише у власному гравітаційному полі, або під дією цього поля і, крім того тяжіння ін. зовнішніх тіл. У теорії Ф. р. вивчаються дві основні, тісно зв'язані між собою проблеми: існування тих або інших Ф. р. рідин, що обертаються, і стійкість Ф. р., схильних до впливу малих обурень.
Теорія Ф. р. зародився в 17 ст, проте і в 2-ої половини 20 ст вона далека від свого завершення. Якнайповніші результати належать А. М. Ляпунову який вперше побудував точну математичну теорію Ф. р. рідини (однорідною і неоднорідною), що обертається, і отримав ряд результатів в теорії стійкості простих Ф. р. (т.з. еліпсоїдів Маклорена і Якобі), і А. Пумнкаре, що довів, зокрема, що відносна рівновага однорідної рідини можлива лише у тому випадку, коли кутова швидкість обертання (менше величини , де f – постійна тяжіння, r – щільність рідини, – т.з. межа Пумнкаре. Якщо на однорідну нестискувану рідку масу, що покоїться, не діють жодні зовнішні сили, то її єдиною Ф. р. є сфера. Ф. р. однорідної рідини у всіх випадках симетричні відносно плоскості, що проходить через її центр інерції перпендикулярно осі обертання, а всяка пряма, паралельна осі обертання, пересікає поверхню рідини не більше ніж в двох крапках. Найбільш вивченими Ф. р. однорідної нестискуваної рідини, що обертається, є еліпсоїдні Ф. р.: еліпсоїди обертання і тривісні еліпсоїди. Ці Ф. р. утворюють сімейства поверхонь (лінійні серії), безперервно залежні від величини кутової швидкості w, що змінюється між нулем і величиною, меншою . Еліпсоїдні Ф. р. математично описуються поверхнями алгебри 2-го порядку. Наближене вирішення проблеми існування Ф. р., описуваних поверхнями алгебри більш високого порядку, дав Пумнкаре, а строге рішення – Ляпунов, що довів, що існують Ф. р., близькі до еліпсоїдних, описувані поверхнями алгебри порядку, більшого 2. Т. о. було вирішено завдання про стійкість еліпсоїдних фігур при малих деформаціях конфігурації.
Велике прикладне значення має теорія Ф. р. рідини, що випробовує тяжіння зовнішніх сил. У статичній моделі, коли рідина, що покоїться, притягується досить видаленою матеріальною крапкою, доведено існування витягнутих у напрямі притягуючої точки еліпсоїдних Ф. р. (приливних еліпсоїдів). Найбільші застосування в астрономії отримала проблема Роша і її узагальнення, що встановлює існування еліпсоїдних (або близьких до них) Ф. р. однорідної рідкої маси, що обертається, яка притягується матеріальною крапкою, що здійснює кругові рухи біля центру мас рідини з тією ж кутовою швидкістю. Ці механічні моделі покладені в основу теорії приливної еволюції, теорії форм зірок, складових подвійну систему, теорії фігур планет. Наближена теорія стійкості Ф. р. небесних тіл розроблений Дж. Дарвіном і Дж. Джінсом .
Літ.: Субботін М. Ф., Курс небесної механіки, т. 3, М. – Л., 1949; Чандрасекхар С., Еліпсоїдні фігури рівноваги, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1973.
