Сферична тригонометрія, математична дисципліна, що вивчає залежності між кутами і сторонами сферичних трикутників (див. Сферична геометрія ) . Хай А , В, З — кути і а, b, з — сторони сферичного трикутника ABC , що протилежать ним (див. мал. ). Кути і сторони сферичного трикутника зв'язані наступними основними формулами С. т.:
(1)
cos а = cos b cos з + sin b sin з cos А, (2)
cos A = - cos B cos З + sin B sin З cos а, (2 1 )
sin а cos B = cos b sin з - sin b cos з cos А , (3)
sin А cos b = cos B sin C + sin B cos З cos а ; (3 1 )
в цих формулах сторони а, b, з вимірюються відповідними центральними кутами довжини цих сторін рівні відповідно ar, br, cr, де R — радіус сфери. Міняючи позначення кутів (і сторін) за правилом кругової перестановки: А ® У ® З ® А ( а ® b ® з ® а ) , можна написати інші формули С. т., аналогічні вказаним. Формули С. т. дозволяють по будь-яких трьох елементах сферичного трикутника визначити три останні (вирішити трикутник).
Для прямокутних сферичних трикутників ( А = 90°, а — гіпотенуза, b, з — катети) формули С. т. спрощуються, наприклад:
sin b = sin а sin В , (1'')
cos а = cos b cos з, (2'')
sin а cos B = cos b sin з . (3'')
Для здобуття формул, що зв'язують елементи прямокутного сферичного трикутника, можна користуватися наступним мнемонічним правилом (правилом Непера): якщо замінити катети прямокутного сферичного трикутника їх доповненнями і розташувати елементи трикутника (виключаючи прямий кут А ) по кругу в тому порядку, в якому вони знаходяться в трикутнику (тобто таким чином: В, а, З, 90° - b, 90° - з), то косинус кожного елементу дорівнює твору синусів неприлеглих елементів, наприклад,
cos а = sin (90° - з ) sin (90° - b )
або, після перетворення,
cos а = cos b cos з (формула 2'').
При рішенні завдань зручні наступні формули Деламбра, що зв'язують всі шість елементів сферичного трикутника:
,
,
,
.
При вирішенні багатьох завдань сферичної астрономії, залежно від необхідної точності, часто виявляється достатнім використання наближених формул: для малих сферичних трикутників (тобто таких, сторони яких малі в порівнянні з радіусом сфери) можна користуватися формулами плоскої тригонометрії; для вузьких сферичних трикутників (тобто таких, в яких одна сторона, наприклад а, мала в порівнянні з іншими) застосовують наступні формули:
(1’’)
(3’’)
або точніші формули:
(1’’’)
(3’’’)
С. т. виникла значно раніше за плоску тригонометрію. Властивості прямокутних сферичних трикутників, що виражаються формулами (1''), —(3''), і різні випадки їх рішення були відомі ще грецьким ученим Менелаю (1 ст) і Птолемею (2 ст). Вирішення косокутних сферичних трикутників грецькі учені зводили до вирішення прямокутних. Азербайджанський учений Насиреддін Туєй (13 ст) систематично розглянув всі випадки вирішення косокутних сферичних трикутників, вперше вказавши рішення в двох важких випадках. Основні формули косокутних сферичних трикутників були знайдені арабським ученим Абу-ль-Вефа (10 ст) [формула (1)], німецьким математиком І. Региомонтаном (середина 15 ст) [формули типа (2)], французьким математиком Ф. Вієтом (2-я половина 16 ст) [формули типа (2 1 )] і Л. Ейлером (Росія, 18 ст) [формули типа (3) і (3 1 )]. Ейлер (1753 і 1779) дав всю систему формул С. т. Окремі зручні для практики формули С. т. були встановлені шотландським математиком Дж. Непером (кінець 16 — почало 17 вв.(століття)), англійським математиком Г. Брігсом (кінець 16 — почало 17 вв.(століття)), російським астрономом А. І. Лекселем (2-я половина 18 ст), французьким астрономом Ж. Деламбром (кінець 18 — почало 19 вв.(століття)) і ін.
