Сферична геометрія, математична дисципліна, що вивчає геометричні образи, що знаходяться на сфері, подібно до того як планіметрія вивчає геометричні образи, що знаходяться на плоскості.
Всяка плоскість, що пересікає сферу, дає в перетині деяке коло; якщо січна плоскість проходить через центр Об сфери, то в перетині виходить так званий великий круг. Через кожні дві точки А і В на сфері ( мал. , 1), окрім випадку діаметрально протилежних крапок, можна провести єдиний великий круг. Великі круги сфери є її геодезичними лініями і тому в С. р. грають роль, аналогічну ролі прямих в планіметрії. Проте тоді як будь-який відрізок прямої є найкоротшим між його кінцями, дуга великого круга на сфері буде найкоротшою лише у разі, коли вона коротша за додаткову дугу. У багатьох інших стосунках С. р. також відмінна від планіметрії; так, наприклад, в С. р. не існує паралельних геодезичних: два великі круги завжди перетинаються, і притому в двох крапках.
Довжину відрізання АВ на сфері, тобто дугу AMB ( мал. , 1) великого круга, вимірюють відповідним пропорційним їй центральним кутом AOB. Кут ABC ( мал. , 2), утворений на сфері дугами двох великих кругів, вимірюють кутом A'' BC'' між дотичними до відповідних дуг в точці пересічення В або двогранному куті, утвореному плоскістю OBA і OBC.
При пересіченні двох великих кругів на сфері утворюється чотири сферичні двовугільники ( мал. , 3) . Сферичний двовугільник визначається завданням свого кута. Площа сферичного двовугільника визначається по формулі: S = 2r 2 A, де R — радіус сфери, А — кут двовугільника, виражений в радіанах.
Три великі круги, не пересічних в одній парі діаметрально протилежних крапок, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників ( мал. , 4) ; знаючи елементи (кути і сторони) одного з них, легко визначити елементи всіх інших. Тому зазвичай розглядають співвідношення між елементами лише одного трикутника, притому того, всі сторони якого менше половини великого круга (такі трикутники називають ейлеровимі). Сторони а , b, з сферичного трикутника вимірюються плоскими кутами тригранного кута OABC ( мал. , 5), кути А, В, З трикутника — двогранними кутами того ж тригранного кута. Властивості сферичних трикутників багато в чому відрізняються від властивостей трикутників на плоскості (прямолінійних трикутників). Так, до відомих трьох випадків рівності прямолінійних трикутників для трикутників на сфері додається ще четвертий: два трикутники рівні, якщо рівні їх відповідні кути (на сфері не існує подібних трикутників).
Рівними трикутниками вважаються ті, які можуть бути поєднані після пересування по сфері. Звідси витікає, що рівні сферичні трикутники мають рівні елементи і однакову орієнтацію . Трикутники, що мають рівні елементи і різну орієнтацію, називаються симетричними; такі, наприклад, трикутники AC'' З і BCC'' на мал. , 6.
У всякому сферичному трикутнику (ейлеровом) кожна сторона менше суми і більше різниці два інших; сума всіх сторін завжди менше 2p. Сума кутів сферичного трикутника завжди менше 3p і більше р. Різниця s – p = e, де s — сума кутів сферичного трикутника, називається сферичним надлишком. Площа сферичного трикутника визначається по формулі: S = R 2 e, де R — радіус сфери. Про співвідношення між кутами і сторонами сферичного трикутника див.(дивися) Сферична тригонометрія.
Положення кожної крапки на сфері сповна визначається завданням двох чисел: ці числа (координати) можна визначити, наприклад, таким чином. Фіксуються ( мал. , 7) деякий великий круг QQ’ (екватор), одна з двох точок пересічення діаметру PP'' сфери, перпендикулярного до плоскості екватора, з поверхнею сфери, наприклад Р (полюс), і одне з великих півкіл PAP'', що виходять з полюса (нульовий меридіан). Великі півкола сфери, що виходять з Р, називаються меридіанами, малі її круги, паралельні екватору, - паралелями. Як одна з координат точки М-коду на сфері приймається кут q = РОМ (полярна відстань, як друга — кут j = AON між нульовим меридіаном і меридіаном, що проходить через точку М-коду (довгота, відлічувана проти годинникової стрілки).
Введення координат на сфері дозволяє проводити дослідження сферичних фігур аналітичними методами геометрії. Так, два рівняння
q = f (t), j = g (t)
або одне рівняння
F (q, j) = 0
між координатами q і j визначають деяку лінію на сфері. Дліна L дуги M 1 M 2 цій лінії обчислюється за формулою
де t 1 і t 2 — значення параметра t, відповідні кінцям M 1 і M 2 дуги M 1 M 2 ( мал. , 8) .
Літ.: Степанов Н. Н., Сферична тригонометрія, 2 видавництва, Л.— М., 1948; Енциклопедія елементарної математики, кн. 4, Геометрія, М., 1963.
