Синусоїдальні спіралі, синус-спіралі, криві, рівняння яких в полярній системі координат мають вигляд
, (*)
де n — раціональне число. Окремими випадками С. с. є коло, пряма, равнобочная гіпербола, лемніската, кардіоїда, парабола (див. Лінія )
(відповідно при n = 1 —1, —2, 2 ). Логарифмічну спіраль можна розглядати як деякий граничний випадок С. с. при n = 0 [хоча рівняння (*) втрачає при цьому сенс], що розділяє С. с., лежача в кінцевій частині плоскість, від С. с., що мають безконечні гілки. Проекція центру кривизни будь-якої крапки С. с. на радіус-вектор цієї крапки ділить його відносно n: 1 (вважаючи від полюса). При рівномірному обертанні радіус-вектора С. с. довкола полюса дотична рівномірно обертається довкола точки дотику. Тому С. с. називаються також кривими пропорційного вигину. При натуральному n С. с. складається з n пелюсток, лежачих в кутах
,
стосуючись на початку координат сторін кута. Кути
,
не містять крапок С. с., відмінних від початку координат. Якщо вписати в круг радіусу а . 2 -1 / n правильний n -угольник P 1 , P 2 ..., Р п , та безліч крапок, твір відстаней яких до точок P 1 , P 2 ..., Р п рівне а n /2, є С. с. Площа однієї пелюстки С. с. рівна
,
а периметр рівний
де G( х ) — гамма-функція . При натуральному n С. с. має n осей симетрії. Якщо n = 1/q, те крива симетрична відносно полярної осі, причому кожна з половин кривої має вигляд спіралі, що починається в точці r = а, j = p/2 і після звороту на кут q p/2 що приходить в полюс. С. с. при n = p/q є кривій (див. Геометрія алгебри ) алгебри , що володіє р осями симетрії, нахиленими до вертикальної осі під кутами 2p qk / p, 0 £ до < р. Вивчення С. с. з негативними значеннями п зводиться до вивчення С. с. з позитивними п за допомогою перетворення інверсії. С. с. застосовуються у деяких питаннях механіки, геодезії і ін.
